Numerieke methoden: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

Rijen & reeksen

Rekenkundige rij: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylorpolynoom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matrices & determinanten

2×2-determinant: det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Eigenwaarden: det(A − λI) = 0
Regel van Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Oefenopgaven

1.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀¹ 1/√(1 + x⁴) dx met de trapeziumregel met n = 6 stroken. Geef T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 6

T =

2.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Euler met h = 0,5 voor y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 om y₅ ≈ y(2,5) te schatten.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,5

y₅ =

3.Rijen & reeksenGemiddeld

Bepaal de convergentiestraal R van de machtreeks Σ_k=1^∞ (2k)!·(x + 1)ᵏ/(k!)².

Σ (2k)!·(x + 1)ᵏ/(k!)²x₀ = −1

R =

4.Rijen & reeksenMoeilijk

Gebruik het Maclaurinpolynoom van graad 3 van f(x) = ln(1 − x) om f(0,5) te benaderen. Geef P₃(0,5).

f(x) = ln(1 − x)n = 3x = 0,5

P₃(0.5) =

5.Matrices & determinantenGemiddeld

Stel C = AB voor de getoonde matrices. Bereken het element c₂₂ (rij 2, kolom 2).

A = [3 −2; 0 −1]B = [−4 6; 2 −3]

c₂₂ =

6.Matrices & determinantenMoeilijk

Los het stelsel −x + y = −6 en −2x + 6y = −2 op. Bereken x.

−x + y = −6−2x + 6y = −2

x =

7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Los y″ + 4y′ + 4y = 0 op met y(0) = 3 en y′(0) = -1. Bepaal y(2).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -1

y(2) =

8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los y″ + 2y′ + 5y = 0 op met y(0) = 3 en y′(0) = 0 (losgelaten uit rust). Bepaal y(0,5); hoeken in radialen.

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.5) =

3Oplossingen

1.Numerieke methoden

Antwoord: T = 0,9254

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Knooppunten en waarden

h = 0,1667

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,999614 + 2·0,993884 + 2·0,970143 + 2·0,913812 + 2·0,82137 + 0,707107 = 11,104751

Trapeziumregel

T = (0,1667/2)·11,104751 = 0,9254

Antwoord

T = 0,9254

Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.

2.Numerieke methoden

Antwoord: y₅ = 1,931

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₁ = 0,2 + 0,5·(0,36) = 0,38

y₂ = 0,38 + 0,5·(0,6156) = 0,6878

y₃ = 0,6878 + 0,5·(0,902531) = 1,139066

y₄ = 1,139066 + 0,5·(0,980661) = 1,629396

y₅ = 1,629396 + 0,5·(0,603861) = 1,931326

Grafiek

y₅ = 1,931

Antwoord

y₅ = 1,931

De exacte waarde is y(2,5) = 1,885651.

3.Rijen & reeksen

Antwoord: R = 0,25

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; wortelcriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σc_k(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |c_k/c_k+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Coëfficiënten

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, dus R = 1/4

Straal

R = 0,25

Antwoord

R = 0,25

Het quotiëntcriterium zegt niets in de twee eindpunten; die moeten apart worden gecontroleerd.

4.Rijen & reeksen

Antwoord: P₃(0.5) = −0,6667

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

Maclaurinpolynoom

P₃(x) = −x − 0,5x² − 0,3333x³

Invullen

P₃(0,5) = −0,5 − 0,125 − 0,0416667 = −0,6667

Antwoord

P₃(0,5) = −0,6667

De exacte waarde is f(0,5) = −0,693147; de fout −0,0264805 wordt kleiner als je meer termen neemt of een punt dichter bij 0.

5.Matrices & determinanten

Antwoord: c₂₂ = 3

Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.

Rij maal kolom

c₂₂ = 0·6 + (−1)·(−3) = 3

Antwoord

c₂₂ = 3

6.Matrices & determinanten

Antwoord: x = 8,5

Determinant van de coëfficiëntenmatrix

det A = (−1)·6 − 1·(−2) = −4

De x-kolom vervangen

det Aₓ = (−6)·6 − 1·(−2) = −34

x = −34/(−4) = 8,5

Antwoord

x = 8,5

y = 2,5

7.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(2) = 0,2381

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Dubbele wortel

(r + 2)² = 0 → r = −2

Constanten

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 2A → B = -1 + 6 = 5

Bereken

y(2) = (3 + 5·2)·e⁻⁴ = 0,2381

Antwoord

y(2) = 0,2381

8.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(0.5) = 1,749

Complexe wortels

r = −1 ± 2j

Constanten

A = 3, B = 1·3/2 = 1,5

Bereken

y(0,5) = e^−0,5(3·cos 1 + 1,5·sin 1) = 1,749

Antwoord

y(0,5) = 1,749

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods