Numerieke methoden: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

Rijen & reeksen

Rekenkundige rij: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylorpolynoom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matrices & determinanten

2×2-determinant: det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Eigenwaarden: det(A − λI) = 0
Regel van Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Oefenopgaven

1.Numerieke methodenGemiddeld

Benader ∫₀¹ x³ dx met de trapeziumregel, n = 2, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

2.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Euler met h = 0,2 voor y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 om y₅ ≈ y(1) te schatten.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,2

y₅ =

3.Rijen & reeksenGemiddeld

Pas het quotiëntcriterium toe op Σ_k=1^∞ kᵏ/(5ᵏ·k!). Bepaal L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = kᵏ/(5ᵏ·k!)

L =

4.Rijen & reeksenMoeilijk

Herken de reeks en bepaal haar som: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·0,8^2k/(2k)!.

a_k = (−1)ᵏ·0,8^2k/(2k)!

S =

5.Matrices & determinantenGemiddeld

Stel C = AB voor de getoonde matrices. Bereken het element c₂₂ (rij 2, kolom 2).

A = [−5 1; 1 −4]B = [−3 −5; 3 −5]

c₂₂ =

6.Matrices & determinantenMoeilijk

Los het stelsel 5x − 5y = 7 en −2x + 5y = 12 op. Bereken x.

5x − 5y = 7−2x + 5y = 12

x =

7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Los y″ + 8y′ + 15y = 0 op met y(0) = 5 en y′(0) = 4. Bepaal y(0,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(0.5) =

8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 4y′ + 20y = 100, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(1,5); hoeken in radialen.

y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3Oplossingen

1.Numerieke methoden

Antwoord: |E| = 0,0625

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Exacte waarde

I = 0,25

Trapeziumregel

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Fout

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Antwoord

|E| = 0,0625

Relatieve fout: 25%.

2.Numerieke methoden

Antwoord: y₅ = 0,8057

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₁ = 0,2 + 0,2·(0,36) = 0,272

y₂ = 0,272 + 0,2·(0,470016) = 0,366003

y₃ = 0,366003 + 0,2·(0,598048) = 0,485613

y₄ = 0,485613 + 0,2·(0,735406) = 0,632694

y₅ = 0,632694 + 0,2·(0,865086) = 0,805711

Grafiek

y₅ = 0,8057

Antwoord

y₅ = 0,8057

De exacte waarde is y(1) = 0,901706.

3.Rijen & reeksen

Antwoord: L = 0,5437

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; wortelcriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σc_k(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |c_k/c_k+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Verhouding van opeenvolgende termen

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/5 → e/5

Conclusie

L = 0,5437 < 1

Antwoord

L = 0,5437

L < 1, dus de reeks convergeert.

4.Rijen & reeksen

Antwoord: S = 0,6967

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

Standaardreeksen

Σ (−1)ᵏx^2k/(2k)! = cos x

Invullen

x = 0,8

S = cos 0,8 = 0,6967

Antwoord

S = 0,6967

5.Matrices & determinanten

Antwoord: c₂₂ = 15

Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.

Rij maal kolom

c₂₂ = 1·(−5) + (−4)·(−5) = 15

Antwoord

c₂₂ = 15

6.Matrices & determinanten

Antwoord: x = 6,333

Determinant van de coëfficiëntenmatrix

det A = 5·5 − (−5)·(−2) = 15

De x-kolom vervangen

det Aₓ = 7·5 − (−5)·12 = 95

x = 95/15 = 6,333

Antwoord

x = 6,333

y = 4,933

7.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(0.5) = 2,456

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Karakteristieke wortels

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Constanten uit de beginwaarden

A + B = 5, −3A − 5B = 4

A = 14,5, B = −9,5

Bereken

y(0,5) = 14,5·e^−1,5 + (−9,5)·e^−2,5 = 2,456

Antwoord

y(0,5) = 2,456

8.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(1.5) = 4,796

Stationaire waarde en wortels

y_ss = 5, r = −2 ± 4j

Constanten uit de beginwaarden

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −2,5

Bereken

y(1,5) = 5·(1 − e⁻³(cos 6 + 0,5·sin 6)) = 4,796

Antwoord

y(1,5) = 4,796

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods