Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
De trapeziumregel wordt gebruikt voor ∫02 eˣ dx. De fout is hoogstens (b − a)³·M/(12n²) met M = max|f″| op [0, 2]. Bepaal het kleinste aantal stroken n dat een fout kleiner dan 0,0005 garandeert.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
2.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Euler met h = 0,2 voor y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 om y3 ≈ y(0,6) te schatten.
y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,2
y3 =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
Precies één van de vier reeksen divergeert. Klik erop.
A: Σ 1/(k² + 2)B: Σ (−1)ᵏ/kC: Σ (7/4)ᵏD: Σ 3/k²
1A: Σ 1/(k² + 2)
2B: Σ (−1)ᵏ/k
3C: Σ (7/4)ᵏ
4D: Σ 3/k²
4.Rijen & reeksenMoeilijk
Gebruik het Maclaurinpolynoom van graad 2 van f(x) = ln(1 + x) om f(−0,3) te benaderen. Geef P₂(−0,3).
f(x) = ln(1 + x)n = 2x = −0,3
P₂(−0.3) =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Stel C = AB voor de getoonde matrices. Bereken het element c22 (rij 2, kolom 2).
A = [−1 2; 3 −1]B = [−6 0; 6 −6]
c22 =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Bereken de grootste eigenwaarde λ van de getoonde matrix A.
A = [5 3; −4 −3]
λ =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Los y″ + 8y′ + 15y = 0 op met y(0) = 3 en y′(0) = 6. Bepaal y(1,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = 6
y(1.5) =
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Los y″ + 2y′ + 10y = 0 op met y(0) = 2 en y′(0) = 0 (losgelaten uit rust). Bepaal y(0,5); hoeken in radialen.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.5) =
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: n = 100
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Grens op de tweede afgeleide
M = e2 = 7,389
n oplossen
n² > 8·7,389/(12·0,0005) = 9852
n > 99,26 → n = 100
Antwoord
n = 100
2.Numerieke methoden
Antwoord: y3 = 0,725
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y₁ = 0,5 + 0,2·(0,5) = 0,6
y₂ = 0,6 + 0,2·(0,380067) = 0,676013
y₃ = 0,676013 + 0,2·(0,245048) = 0,725023
Grafiek
y3 = 0,725
Antwoord
y3 = 0,725
3.Rijen & reeksen
Antwoord: C: Σ (7/4)ᵏ
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Test elke reeks
A: Σ 1/(k² + 2) → Kleiner dan 1/k², een convergente p-reeks: convergeert door vergelijking.
B: Σ (−1)ᵏ/k → Alternerend, met 1/k dalend naar 0: convergeert (voorwaardelijk).
C: Σ (7/4)ᵏ → Meetkundig met r = 7/4 > 1: de termen groeien, dus hij divergeert.
D: Σ 3/k² → p-reeks met p = 2 > 1: convergeert.
Het antwoord
C: Σ (7/4)ᵏ
Antwoord
C: Σ (7/4)ᵏ
4.Rijen & reeksen
Antwoord: P₂(−0.3) = −0,345
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Maclaurinpolynoom
P₂(x) = x − 0,5x²
Invullen
P₂(−0,3) = −0,3 − 0,045 = −0,345
Antwoord
P₂(−0,3) = −0,345
De exacte waarde is f(−0,3) = −0,356675; de fout −0,0116749 wordt kleiner als je meer termen neemt of een punt dichter bij 0.
5.Matrices & determinanten
Antwoord: c22 = 6
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Rij maal kolom
c22 = 3·0 + (−1)·(−6) = 6
Antwoord
c22 = 6
6.Matrices & determinanten
Antwoord: λ = 3
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Karakteristieke vergelijking
λ² − (2)λ + (−3) = 0
Oplossen
λ = (2 ± √(16))/2 → λ = −1, 3
λ = 3
Antwoord
λ = 3
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1.5) = 0,1125
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Karakteristieke wortels
(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5
Constanten uit de beginwaarden
A + B = 3, −3A − 5B = 6
A = 10,5, B = −7,5
Bereken
y(1,5) = 10,5·e−4,5 + (−7,5)·e−7,5 = 0,1125
Antwoord
y(1,5) = 0,1125
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(0.5) = 0,4891
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.