Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫01 e−x² dx met de trapeziumregel met n = 6 stroken. Geef T.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1]n = 6
T =
2.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Heun (verbeterde Euler) met h = 0,2 voor y′ = y − t², y(0) = 2 om y2 ≈ y(0,4) te schatten.
y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,2
y2 =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
Bepaal de convergentiestraal R van de machtreeks Σk=1∞ (2k)!·xᵏ/(k!)².
Σ (2k)!·xᵏ/(k!)²x₀ = 0
R =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
Gebruik het Maclaurinpolynoom van graad 3 van f(x) = 1/(1 − x) om f(0,4) te benaderen. Geef P₃(0,4).
f(x) = 1/(1 − x)n = 3x = 0,4
P₃(0.4) =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.
A = [−4 −5 −1; 3 0 0; 0 0 −2]
det A =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Bereken de grootste eigenwaarde λ van de getoonde matrix A.
A = [−3 6; −7 10]
λ =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Los y″ + 6y′ + 5y = 0 op met y(0) = 5 en y′(0) = 0. Bepaal y(1,5).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + y′ + 16,25y = 16,25, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(0,75); hoeken in radialen.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: T = 0,7451
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.
2.Numerieke methoden
Antwoord: y2 = 2,951
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Heun-stappen
y₁ = 2 + (0,2/2)(2 + 2,36) = 2,436
y₂ = 2,436 + (0,2/2)(2,396 + 2,7552) = 2,95112
Grafiek
y2 = 2,951
Antwoord
y2 = 2,951
De exacte waarde is y(0,4) = 2,96.
3.Rijen & reeksen
Antwoord: R = 0,25
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Coëfficiënten
ck+1/ck = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, dus R = 1/4
Straal
R = 0,25
Antwoord
R = 0,25
Het quotiëntcriterium zegt niets in de twee eindpunten; die moeten apart worden gecontroleerd.
4.Rijen & reeksen
Antwoord: P₃(0.4) = 1,624
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Maclaurinpolynoom
P₃(x) = 1 + x + x² + x³
Invullen
P₃(0,4) = 1 + 0,4 + 0,16 + 0,064 = 1,624
Antwoord
P₃(0,4) = 1,624
De exacte waarde is f(0,4) = 1,666667; de fout 0,0426667 wordt kleiner als je meer termen neemt of een punt dichter bij 0.
5.Matrices & determinanten
Antwoord: det A = −30
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
2×2-minoren van de eerste rij
M₁₁ = 0, M₁₂ = −6, M₁₃ = 0
Cofactorontwikkeling
det A = (−4)·0 − (−5)·(−6) + (−1)·0 = −30
Antwoord
det A = −30
6.Matrices & determinanten
Antwoord: λ = 4
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Karakteristieke vergelijking
λ² − (7)λ + (12) = 0
Oplossen
λ = (7 ± √(1))/2 → λ = 3, 4
λ = 4
Antwoord
λ = 4
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1.5) = 1,394
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Karakteristieke wortels
(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5
Constanten uit de beginwaarden
A + B = 5, −1A − 5B = 0
A = 6,25, B = −1,25
Bereken
y(1,5) = 6,25·e−1,5 + (−1,25)·e−7,5 = 1,394
Antwoord
y(1,5) = 1,394
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(0.75) = 1,668
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.