Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
De snelheid van een voertuig wordt elke 1 s gemeten (tabel). Schat de afgelegde afstand s van t = 0 tot t = 4 s met de regel van Simpson.
h = 1 sn = 4
s = m
2.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Euler met h = 0,5 voor y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 om y4 ≈ y(2) te schatten.
y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,5
y4 =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
De machtreeks Σk=1∞ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏ convergeert op een interval rond x₀ = −2. Bepaal het linkeruiteinde x van dat interval.
Σ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏx₀ = −2
x =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
f(x) = eˣ wordt in x = 1 benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad n. Bepaal met de Lagrange-grens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! en M = 3 de kleinste graad n die een fout kleiner dan 0,0005 garandeert.
f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 0,0005
n =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.
A = [2 1 −3; −3 1 −4; −2 4 3]
det A =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Bereken de grootste eigenwaarde λ van de getoonde matrix A.
A = [6 3; −7 −4]
λ =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een kop koffie van 80 °C wordt achtergelaten in een kamer van 22 °C. Na 5 min is de temperatuur 61 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 38 °C te bereiken?
T0 = 80 °CTa = 22 °CT(5) = 61 °CT = 38 °C
t = min
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een tank bevat 500 L water waarin 10 kg zout is opgelost. Pekel met 0,1 kg zout per liter stroomt in met 10 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Hoeveel zout m zit er na 45 min in de tank?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: s = 51,67 m
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Gewogen som
5 + 4·10 + 2·15 + 4·16 + 16 = 155
Regel van Simpson
s = (1/3)·155 = 51,67 m
Antwoord
s = 51,67 m
2.Numerieke methoden
Antwoord: y4 = 0,3739
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y₁ = 0,5 + 0,5·(0,5) = 0,75
y₂ = 0,75 + 0,5·(0,127583) = 0,813791
y₃ = 0,813791 + 0,5·(−0,273489) = 0,677047
y₄ = 0,677047 + 0,5·(−0,60631) = 0,373892
Grafiek
y4 = 0,3739
Antwoord
y4 = 0,3739
3.Rijen & reeksen
Antwoord: x = −4,718
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Coëfficiënten
ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e
Straal
R = 2,718
Interval
−4,718 < x < 0,7183
x = −4,718
Antwoord
x = −4,718
Het quotiëntcriterium zegt niets in de twee eindpunten; die moeten apart worden gecontroleerd.
4.Rijen & reeksen
Antwoord: n = 7
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Grenzen voor toenemende n
n = 6: 0,0005952 ≥ 0,0005
n = 7: 7,44 × 10⁻⁵ < 0,0005
Kleinste graad
n = 7
Antwoord
n = 7
5.Matrices & determinanten
Antwoord: det A = 85
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
2×2-minoren van de eerste rij
M₁₁ = 19, M₁₂ = −17, M₁₃ = −10
Cofactorontwikkeling
det A = 2·19 − 1·(−17) + (−3)·(−10) = 85
Antwoord
det A = 85
6.Matrices & determinanten
Antwoord: λ = 3
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Karakteristieke vergelijking
λ² − (2)λ + (−3) = 0
Oplossen
λ = (2 ± √(16))/2 → λ = −1, 3
λ = 3
Antwoord
λ = 3
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: t = 16,22 min
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Afkoelingsconstante
k = ln(58/39)/5 = 0,07938 min⁻¹
Tijd tot de doeltemperatuur
t = ln(58/16)/0,07938 = 16,22 min
Antwoord
t = 16,22 min
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: m = 33,74 kg
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Stel de vergelijking op
dm/dt = 10·0,1 − (10/500)·m = 1 − 0,02·m
Oplossen
De integrerende factor is ert/V; de oplossing nadert het evenwicht c·V.