Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫01 e−x² dx met de regel van Simpson met n = 4 stroken. Geef S.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1]n = 4
S =
2.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Euler met h = 0,2 voor y′ = e−ty, y(0) = 0 om y5 ≈ y(1) te schatten.
y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,2
y5 =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
Pas het wortelcriterium toe op Σk=1∞ ((1k + 6)/(5k + 5))ᵏ. Bepaal L = lim |ak|1/k.
ak = ((1k + 6)/(5k + 5))ᵏ
L =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
f(x) = ln(1 + x) wordt benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad 4 in x = 0,5. Gebruik de Lagrange-foutgrens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! met M = 4! = 24 om de grootst mogelijke fout |R₄| te vinden.
f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0,5M = 24
|R₄| =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Stel C = AB voor de getoonde matrices. Bereken het element c21 (rij 2, kolom 1).
A = [−1 5; 0 −6]B = [4 −1; 2 5]
c21 =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Los het stelsel −2x − 6y = 7 en −4x + 4y = 1 op. Bereken x.
−2x − 6y = 7−4x + 4y = 1
x =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Los y″ + 6y′ + 5y = 0 op met y(0) = 3 en y′(0) = 4. Bepaal y(1).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 3y′(0) = 4
y(1) =
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een systeem voldoet voor t ≥ 0 aan y″ + 2y′ + 5y = 10, startend uit rust: y(0) = 0, y′(0) = 0. Bepaal y(0,75); hoeken in radialen.
y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: S = 0,7469
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.
2.Numerieke methoden
Antwoord: y5 = 0,8195
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y₁ = 0 + 0,2·(1) = 0,2
y₂ = 0,2 + 0,2·(0,960789) = 0,392158
y₃ = 0,392158 + 0,2·(0,854821) = 0,563122
y₄ = 0,563122 + 0,2·(0,713286) = 0,705779
y₅ = 0,705779 + 0,2·(0,568574) = 0,819494
Grafiek
y5 = 0,8195
Antwoord
y5 = 0,8195
3.Rijen & reeksen
Antwoord: L = 0,2
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Wortel van de termen
|ak|1/k = (1k + 6)/(5k + 5) → 1/5
Conclusie
L = 0,2 < 1
Antwoord
L = 0,2
L < 1, dus de reeks convergeert.
4.Rijen & reeksen
Antwoord: |R₄| = 0,00625
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Grens op de afgeleide
M = 4! = 24
Lagrange-grens
|R₄| ≤ 24·0,5⁵/5! = 0,00625
Antwoord
|R₄| = 0,00625
De werkelijke fout is kleiner: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,004423.
5.Matrices & determinanten
Antwoord: c21 = −12
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Rij maal kolom
c21 = 0·4 + (−6)·2 = −12
Antwoord
c21 = −12
6.Matrices & determinanten
Antwoord: x = −1,063
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Determinant van de coëfficiëntenmatrix
det A = (−2)·4 − (−6)·(−4) = −32
De x-kolom vervangen
det Aₓ = 7·4 − (−6)·1 = 34
x = 34/(−32) = −1,063
Antwoord
x = −1,063
y = −0,8125
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1) = 1,736
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Karakteristieke wortels
(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5
Constanten uit de beginwaarden
A + B = 3, −1A − 5B = 4
A = 4,75, B = −1,75
Bereken
y(1) = 4,75·e−1 + (−1,75)·e−5 = 1,736
Antwoord
y(1) = 1,736
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(0.75) = 1,462
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.