Numerieke methoden: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Numerieke methoden

Bisectie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineaire interpolatie: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Foutgrens trapeziumregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.

Rijen & reeksen

Rekenkundige rij: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylorpolynoom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matrices & determinanten

2×2-determinant: det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Eigenwaarden: det(A − λI) = 0
Regel van Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Oefenopgaven

1.Numerieke methodenGemiddeld

De snelheid van een voertuig wordt elke 2 s gemeten (tabel). Schat de afgelegde afstand s van t = 0 tot t = 12 s met de trapeziumregel.

h = 2 sn = 6

s = m

2.Numerieke methodenMoeilijk

Gebruik de methode van Euler met h = 0,5 voor y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 om y₄ ≈ y(2) te schatten.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,5

y₄ =

3.Rijen & reeksenGemiddeld

Bepaal de som S = Σ_k=1³⁶ 5/(k(k + 1)).

a_k = 5/(k(k + 1))n = 36

S =

4.Rijen & reeksenMoeilijk

Herken de reeks en bepaal haar som: S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0,2ᵏ/k.

a_k = (−1)^k+1·0,2ᵏ/k

S =

5.Matrices & determinantenGemiddeld

Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.

A = [2 −5 5; 2 −1 −5; −2 2 −2]

det A =

6.Matrices & determinantenMoeilijk

Bereken de grootste eigenwaarde λ van de getoonde matrix A.

A = [2 6; −5 −9]

λ =

7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Los y″ + 8y′ + 15y = 0 op met y(0) = 1 en y′(0) = 2. Bepaal y(1).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = 2

y(1) =

8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los y″ + 2y′ + 17y = 0 op met y(0) = 5 en y′(0) = 0 (losgelaten uit rust). Bepaal y(0,5); hoeken in radialen.

y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.5) =

3Oplossingen

1.Numerieke methoden

Antwoord: s = 170 m

Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.

Gewogen som

2 + 2·6 + 2·8 + 2·14 + 2·20 + 2·22 + 28 = 170

Trapeziumregel

s = (2/2)·170 = 170 m

Antwoord

s = 170 m

2.Numerieke methoden

Antwoord: y₄ = 1,98

Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.

Euler-stappen

y₁ = 0,5 + 0,5·(0,75) = 0,875

y₂ = 0,875 + 0,5·(0,984375) = 1,367188

y₃ = 1,367188 + 0,5·(0,865173) = 1,799774

y₄ = 1,799774 + 0,5·(0,360361) = 1,979955

Grafiek

y₄ = 1,98

Antwoord

y₄ = 1,98

De exacte waarde is y(2) = 1,89583.

3.Rijen & reeksen

Antwoord: S = 4,865

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; wortelcriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σc_k(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |c_k/c_k+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Partieelbreuken

5/(k(k + 1)) = 5·(1/k − 1/(k + 1))

Annuleren

S = 5·(1 − 1/37) = 4,865

Antwoord

S = 4,865

4.Rijen & reeksen

Antwoord: S = 0,1823

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

Standaardreeksen

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

Invullen

x = 0,2

S = ln 1,2 = 0,1823

Antwoord

S = 0,1823

5.Matrices & determinanten

Antwoord: det A = −36

Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.

2×2-minoren van de eerste rij

M₁₁ = 12, M₁₂ = −14, M₁₃ = 2

Cofactorontwikkeling

det A = 2·12 − (−5)·(−14) + 5·2 = −36

Antwoord

det A = −36

6.Matrices & determinanten

Antwoord: λ = −3

Karakteristieke vergelijking

λ² − (−7)λ + (12) = 0

Oplossen

λ = (−7 ± √(1))/2 → λ = −4, −3

λ = −3

Antwoord

λ = −3

7.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(1) = 0,1574

Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = e^rt: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·e^rt (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 is ω_n de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.

Karakteristieke wortels

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Constanten uit de beginwaarden

A + B = 1, −3A − 5B = 2

A = 3,5, B = −2,5

Bereken

y(1) = 3,5·e⁻³ + (−2,5)·e⁻⁵ = 0,1574

Antwoord

y(1) = 0,1574

8.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(0.5) = −0,5726

Complexe wortels

r = −1 ± 4j

Constanten

A = 5, B = 1·5/4 = 1,25

Bereken

y(0,5) = e^−0,5(5·cos 2 + 1,25·sin 2) = −0,5726

Antwoord

y(0,5) = −0,5726

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods