Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫01,5 √(1 + x³) dx met de regel van Simpson met n = 2 stroken. Geef S.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
2.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Heun (verbeterde Euler) met h = 0,2 voor y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 om y2 ≈ y(0,4) te schatten.
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,2
y2 =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
Bepaal de som S = Σk=1∞ 6/(k(k + 1)).
ak = 6/(k(k + 1))
S =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
f(x) = eˣ wordt in x = 1 benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad n. Bepaal met de Lagrange-grens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! en M = 3 de kleinste graad n die een fout kleiner dan 1 × 10⁻⁵ garandeert.
f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.
A = [4 −3 1; 1 −3 −3; −1 2 −2]
det A =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Los het stelsel −5x + 4y = −11 en 4x + 6y = 9 op. Bereken x.
−5x + 4y = −114x + 6y = 9
x =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een gesmeed stalen onderdeel van 440 °C koelt af in een werkplaats van 22 °C. Na 55 min is de temperatuur 68 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 254 °C te bereiken?
T0 = 440 °CTa = 22 °CT(55) = 68 °CT = 254 °C
t = min
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Los y′ + 0,5y = 8e−3t op met y(0) = 1. Bereken y(0,5).
y′ + 0,5y = 8e−3ty(0) = 1
y(0.5) =
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: S = 1,965
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Knooppunten en waarden
h = 0,75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,192424 + 2,09165 = 7,861346
Regel van Simpson
S = (0,75/3)·7,861346 = 1,965
Antwoord
S = 1,965
Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.
2.Numerieke methoden
Antwoord: y2 = 1,504
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Partieelbreuken
6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))
Annuleren
S = 6·1 = 6
Antwoord
S = 6
4.Rijen & reeksen
Antwoord: n = 8
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Grenzen voor toenemende n
n = 7: 7,44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Kleinste graad
n = 8
Antwoord
n = 8
5.Matrices & determinanten
Antwoord: det A = 32
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
2×2-minoren van de eerste rij
M₁₁ = 12, M₁₂ = −5, M₁₃ = −1
Cofactorontwikkeling
det A = 4·12 − (−3)·(−5) + 1·(−1) = 32
Antwoord
det A = 32
6.Matrices & determinanten
Antwoord: x = 2,217
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Determinant van de coëfficiëntenmatrix
det A = (−5)·6 − 4·4 = −46
De x-kolom vervangen
det Aₓ = (−11)·6 − 4·9 = −102
x = −102/(−46) = 2,217
Antwoord
x = 2,217
y = 0,02174
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: t = 14,67 min
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Afkoelingsconstante
k = ln(418/46)/55 = 0,04012 min⁻¹
Tijd tot de doeltemperatuur
t = ln(418/232)/0,04012 = 14,67 min
Antwoord
t = 14,67 min
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(0.5) = 2,557
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Integrerende factor
μ = e0,5t
(e0,5ty)′ = 8e−2,5t
Algemene oplossing
y = 8/(−2,5)·e−3t + C·e−0,5t = −3,2·e−3t + C·e−0,5t