Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫01 √(1 + x³) dx met de regel van Simpson met n = 2 stroken. Geef S.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
2.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Euler met h = 0,1 voor y′ = 0,5y, y(0) = −1 om y5 ≈ y(0,5) te schatten.
y′ = 0,5yy(0) = −1h = 0,1
y5 =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
De machtreeks Σk=1∞ (x − 3)ᵏ/(k·(1/2)ᵏ) convergeert op een interval rond x₀ = 3. Bepaal het rechteruiteinde x van dat interval.
Σ (x − 3)ᵏ/(k·(1/2)ᵏ)x₀ = 3
x =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
Herken de reeks en bepaal haar som: S = Σk=0∞ (−1)ᵏ·1,22k/(2k)!.
ak = (−1)ᵏ·1,22k/(2k)!
S =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Stel C = AB voor de getoonde matrices. Bereken het element c11 (rij 1, kolom 1).
A = [2 3; 4 4]B = [1 4; 0 6]
c11 =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Los het stelsel 3x + 2y = −9 en 4x + 4y = 11 op. Bereken x.
3x + 2y = −94x + 4y = 11
x =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een kop koffie van 92 °C wordt achtergelaten in een kamer van 22 °C. Na 18 min is de temperatuur 34 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Hoe lang na de start, t, duurt het om 75 °C te bereiken?
T0 = 92 °CTa = 22 °CT(18) = 34 °CT = 75 °C
t = min
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een tank bevat 500 L water waarin 20 kg zout is opgelost. Pekel met 0,2 kg zout per liter stroomt in met 4 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Hoeveel zout m zit er na 25 min in de tank?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: S = 1,109
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Knooppunten en waarden
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,06066 + 1,414214 = 6,656854
Regel van Simpson
S = (0,5/3)·6,656854 = 1,109
Antwoord
S = 1,109
Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.
2.Numerieke methoden
Antwoord: y5 = −1,276
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y₁ = −1 + 0,1·(−0,5) = −1,05
y₂ = −1,05 + 0,1·(−0,525) = −1,1025
y₃ = −1,1025 + 0,1·(−0,55125) = −1,157625
y₄ = −1,157625 + 0,1·(−0,578813) = −1,215506
y₅ = −1,215506 + 0,1·(−0,607753) = −1,276282
Grafiek
y5 = −1,276
Antwoord
y5 = −1,276
De exacte waarde is y(0,5) = −1,284025.
3.Rijen & reeksen
Antwoord: x = 3,5
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Coëfficiënten
ck/ck+1 = (1/2)·((k + 1)/k) → 0,5
Straal
R = 0,5
Interval
2,5 < x < 3,5
x = 3,5
Antwoord
x = 3,5
Het quotiëntcriterium zegt niets in de twee eindpunten; die moeten apart worden gecontroleerd.
4.Rijen & reeksen
Antwoord: S = 0,3624
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Standaardreeksen
Σ (−1)ᵏx2k/(2k)! = cos x
Invullen
x = 1,2
S = cos 1,2 = 0,3624
Antwoord
S = 0,3624
5.Matrices & determinanten
Antwoord: c11 = 2
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Rij maal kolom
c11 = 2·1 + 3·0 = 2
Antwoord
c11 = 2
6.Matrices & determinanten
Antwoord: x = −14,5
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Determinant van de coëfficiëntenmatrix
det A = 3·4 − 2·4 = 4
De x-kolom vervangen
det Aₓ = (−9)·4 − 2·11 = −58
x = −58/4 = −14,5
Antwoord
x = −14,5
y = 17,25
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: t = 2,839 min
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Afkoelingsconstante
k = ln(70/12)/18 = 0,09798 min⁻¹
Tijd tot de doeltemperatuur
t = ln(70/53)/0,09798 = 2,839 min
Antwoord
t = 2,839 min
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: m = 34,5 kg
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Stel de vergelijking op
dm/dt = 4·0,2 − (4/500)·m = 0,8 − 0,008·m
Oplossen
De integrerende factor is ert/V; de oplossing nadert het evenwicht c·V.