Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫01,5 1/(1 + x³) dx met de regel van Simpson met n = 2 stroken. Geef S.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
2.Numerieke methodenMoeilijk
Gebruik de methode van Heun (verbeterde Euler) met h = 0,1 voor y′ = cos t − y, y(0) = 3 om y3 ≈ y(0,3) te schatten.
y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1
y3 =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
De machtreeks Σk=1∞ (x − 3)ᵏ/(k·3ᵏ) convergeert op een interval rond x₀ = 3. Bepaal het rechteruiteinde x van dat interval.
Σ (x − 3)ᵏ/(k·3ᵏ)x₀ = 3
x =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
f(x) = sin x wordt benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad 4 in x = 0,3. Gebruik de Lagrange-foutgrens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! met M = 1 om de grootst mogelijke fout |R₄| te vinden.
f(x) = sin xn = 4x = 0,3M = 1
|R₄| =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.
A = [−1 3 1; −2 1 −4; −4 4 1]
det A =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Bereken de grootste eigenwaarde λ van de getoonde matrix A.
A = [0 −1; 2 3]
λ =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Los y″ + 4y′ + 4y = 0 op met y(0) = 3 en y′(0) = 1. Bepaal y(1).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(1) =
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Los het beginwaardeprobleem y′ + 3y/x = 6x2 op voor x > 0, met y(1) = −1. Bereken y(2).
y′ + 3y/x = 6x2y(1) = −1
y(2) =
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: S = 1,01
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Knooppunten en waarden
h = 0,75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,703297 + 0,228571 = 4,041758
Regel van Simpson
S = (0,75/3)·4,041758 = 1,01
Antwoord
S = 1,01
Deze integraal heeft geen elementaire primitieve, en juist dan is een numerieke regel nodig.
2.Numerieke methoden
Antwoord: y3 = 2,478
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Coëfficiënten
ck/ck+1 = 3·((k + 1)/k) → 3
Straal
R = 3
Interval
0 < x < 6
x = 6
Antwoord
x = 6
Het quotiëntcriterium zegt niets in de twee eindpunten; die moeten apart worden gecontroleerd.
4.Rijen & reeksen
Antwoord: |R₄| = 2,025 × 10⁻⁵
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Grens op de afgeleide
M = 1
Lagrange-grens
|R₄| ≤ 1·0,3⁵/5! = 2,025 × 10⁻⁵
Antwoord
|R₄| = 2,025 × 10⁻⁵
De werkelijke fout is kleiner: |f(0,3) − P₄(0,3)| = 2,021 × 10⁻⁵.
5.Matrices & determinanten
Antwoord: det A = 33
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
2×2-minoren van de eerste rij
M₁₁ = 17, M₁₂ = −18, M₁₃ = −4
Cofactorontwikkeling
det A = (−1)·17 − 3·(−18) + 1·(−4) = 33
Antwoord
det A = 33
6.Matrices & determinanten
Antwoord: λ = 2
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Karakteristieke vergelijking
λ² − (3)λ + (2) = 0
Oplossen
λ = (3 ± √(1))/2 → λ = 1, 2
λ = 2
Antwoord
λ = 2
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(1) = 1,353
Lineaire tweede-ordevergelijkingen: probeer voor y″ + b·y′ + c·y = 0 y = ert: dit geeft de karakteristieke vergelijking r² + b·r + c = 0. Twee reële wortels r₁ ≠ r₂ geven y = A·er₁t + B·er₂t (overgedempt); een dubbele wortel r geeft y = (A + Bt)·ert (kritisch gedempt); complexe wortels −α ± jω geven y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (ondergedempt, oscillerend). De beginwaarden y(0) en y′(0) leggen A en B vast. Geschreven als y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 is ωn de eigenfrequentie en ζ de dempingsfactor: bij ζ < 1 oscilleert de oplossing. Bij een constante ingang, y″ + by′ + cy = c·K, is de oplossing de eindwaarde K plus de vrije respons.
Dubbele wortel
(r + 2)² = 0 → r = −2
Constanten
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 2A → B = 1 + 6 = 7
Bereken
y(1) = (3 + 7·1)·e−2 = 1,353
Antwoord
y(1) = 1,353
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: y(2) = 7,75
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.