Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Twee identieke kleine metalen bolletjes hebben ladingen van −6 µC en +5 µC. Ze worden tegen elkaar aan gehouden en daarna weer op 30 cm van elkaar gezet. Vind de grootte van de kracht F tussen hen nu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −6 µCq₂ = +5 µCr = 30 cm

F = N

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Twee identieke kleine balletjes, elk met een massa van 5 g, hangen aan hetzelfde punt aan isolerende draadjes van 30 cm lang. Ze krijgen gelijke ladingen en elk draadje komt tot rust onder 20° met de verticaal. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de lading q op elk balletje in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 30 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W die op t = 5 ms in de spoel is opgeslagen, in mJ.

V_s = 15 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 5 ms

W = mJ

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 5 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 3,75 V bereikt, precies 20 ms na de start. Vind met C = 22 µF de benodigde weerstand R.

V_s = 5 VV_th = 3,75 VT = 20 msC = 22 µF

R = kΩ

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een alfadeeltje die met 3 × 10⁶ m/s loodrecht een homogeen magnetisch veld binnenkomt, beweegt op een cirkel met straal 24,89 cm. Bepaal de magnetische fluxdichtheid B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sr = 24,89 cm

B = T

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een korte spoel van 100 windingen is strak gewikkeld om het midden van een lange solenoïde van 1500 windingen, lengte 25 cm en diameter 2 cm. De stroom in de solenoïde verandert met 10 A/s. Bepaal de EMK ε die in de korte spoel wordt geïnduceerd.

N₁ = 1500N₂ = 100l = 25 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een condensator zijn parallel aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 500 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩC = 47 µF

I = A

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 10 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning V_L over de spoel.

V = 10 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_L = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 0,02497 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Lading na het aanraken

q′ = (−6 + 5)/2 = −0,5 µC

Nieuwe kracht

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 0,02497 N

Antwoord

F = 0,02497 N

Beide bolletjes hebben nu hetzelfde teken, dus ze stoten elkaar af.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: q = 289,2 nC

Elektrische kracht uit het evenwicht

Het horizontale deel van de spankracht houdt F in evenwicht, het verticale deel m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Afstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 20° = 0,2052 m

Lading

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2052·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 2,892 × 10⁻⁷ C = 289,2 nC

Antwoord

q = 289,2 nC

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 13,43 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω

R_eq = R₁ + 3,429 = 10 + 3,429 = 13,43 Ω

Antwoord

R_eq = 13,43 Ω

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 6,233 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 3 + 2 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 2,727 Ω

R₃ + 2,727 = 8,727 Ω

R₂ ∥ 8,727 = 2,233 Ω

R_eq = R₁ + 2,233 = 4 + 2,233 = 6,233 Ω

Antwoord

R_eq = 6,233 Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W = 11,61 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 15/15 = 1 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = 1·(1 − e^−5/10) = 0,3935 A

Opgeslagen energie

W = ½·L·i² = ½·150·0,3935² = 11,61 mJ

Antwoord

W = 11,61 mJ

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: R = 0,6558 kΩ

Benodigde tijdconstante

3,75 = 5·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 3,75))

τ = 20/1,386 = 14,43 ms

Weerstand

kΩ maal µF geeft milliseconden.

R = τ/C = 14,43/22 = 0,6558 kΩ

Antwoord

R = 0,6558 kΩ

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: B = 0,25 T

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Veld uit de straal

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·3 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,2489) = 0,25 T

Antwoord

B = 0,25 T

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: ε = 2,369 mV

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Wederzijdse inductie

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·100·0,0003142/0,25 = 236,9 µH

Geïnduceerde EMK

ε = M·di/dt = 0,0002369·10 = 2,369 mV

Antwoord

ε = 2,369 mV

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 1,816 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 12/30 = 0,4 A

I_X = V/X_C = 12/6,773 = 1,772 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,4² + 1,772²) = 1,816 A

Antwoord

I = 1,816 A

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_L = 50 V

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s

I = V/R = 10/20 = 0,5 A

Spanning over de spoel

X_L = ω₀L = 1000·0,1 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·100 = 50 V

Antwoord

V_L = 50 V

Dit is Q = 5 keer de voedingsspanning.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism