Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Twee identieke kleine metalen bolletjes hebben ladingen van −6 µC en −4 µC. Ze worden tegen elkaar aan gehouden en daarna weer op 10 cm van elkaar gezet. Vind de grootte van de kracht F tussen hen nu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −6 µCq₂ = −4 µCr = 10 cm

F = N

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Drie positieve puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek: q₃ = 6 µC zit in het hoekpunt met de rechte hoek, q₁ = 6 µC zit 5 cm daarvandaan langs de ene rechthoekszijde en q₂ = 4 µC zit 6 cm daarvandaan langs de andere rechthoekszijde. Bereken de grootte van de resulterende elektrische kracht F op q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 4 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W(∞) die in de spoel is opgeslagen als de schakeling tot rust is gekomen, in mJ.

V_s = 12 VR = 22 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 15 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 7,5 V bereikt, precies 50 ms na de start. Vind met R = 10 kΩ de benodigde capaciteit C.

V_s = 15 VV_th = 7,5 VT = 50 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een alfadeeltje beweegt met 2,5 × 10⁵ m/s loodrecht op een homogeen magnetisch veld van 0,8 T. Bepaal de straal r van zijn cirkelbaan.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁵ m/sB = 0,8 T

r = cm

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een spoel met 100 windingen, 20 cm × 20 cm, draait in een homogeen veld van 0,1 T om een as loodrecht op het veld. Met welke snelheid n (in toeren per minuut) moet hij draaien om een effectieve EMK van 106,6 V te geven?

N = 100A = 20 cm × 20 cmB = 0,1 TE_rms = 106,6 V

n = rpm

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 60 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 2 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning V_L over de spoel.

V = 2 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF

V_L = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 22,47 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Lading na het aanraken

q′ = (−6 + −4)/2 = −5 µC

Nieuwe kracht

F = 8,99 × 10⁹·(5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 22,47 N

Antwoord

F = 22,47 N

Beide bolletjes hebben nu hetzelfde teken, dus ze stoten elkaar af.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 142,7 N

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Elke kracht op q₃

F₁ = k·6·6 × 10⁻¹²/0,05² = 129,5 N

F₂ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,06² = 59,93 N

Vectorsom

F = √(129,5² + 59,93²) = 142,7 N

Antwoord

F = 142,7 N

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 7,308 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω

R_eq = R₁ + 2,308 = 5 + 2,308 = 7,308 Ω

Antwoord

R_eq = 7,308 Ω

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 8,457 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 6 + 30 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 10,59 Ω

R₃ + 10,59 = 13,59 Ω

R₂ ∥ 13,59 = 2,457 Ω

R_eq = R₁ + 2,457 = 6 + 2,457 = 8,457 Ω

Antwoord

R_eq = 8,457 Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W(∞) = 14,88 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 12/22 = 0,5455 A

Opgeslagen energie

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0,5455² = 14,88 mJ

Antwoord

W(∞) = 14,88 mJ

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: C = 7,213 µF

Benodigde tijdconstante

7,5 = 15·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(15/(15 − 7,5))

τ = 50/0,6931 = 72,13 ms

Capaciteit

kΩ maal µF geeft milliseconden.

C = τ/R = 72,13/10 = 7,213 µF

Antwoord

C = 7,213 µF

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 0,6481 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Krachtenevenwicht

De magnetische kracht staat altijd loodrecht op de snelheid, dus ze buigt de baan tot een cirkel.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Straal

r = 6,645 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,8) = 0,006481 m = 0,6481 cm

Antwoord

r = 0,6481 cm

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: n = 3599 rpm

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Piek-EMK

E₀ = √2·E_rms = 150,8 V

Hoeksnelheid

ω = E₀/(NBA) = 150,8/(100·0,1·0,04) = 376,9 rad/s

Toeren per minuut

n = 60·376,9/(2π) = 3599 rpm

Antwoord

n = 3599 rpm

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 67,74 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (48,87)²) = 52,81 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(48,87/20) = 67,74°

Antwoord

φ = 67,74°

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_L = 8,944 V

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·1·10⁻⁶) = 4472 rad/s

I = V/R = 2/50 = 0,04 A

Spanning over de spoel

X_L = ω₀L = 4472·0,05 = 223,6 Ω

V_L = I·X_L = 0,04·223,6 = 8,944 V

Antwoord

V_L = 8,944 V

Dit is Q = 4,472 keer de voedingsspanning.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism