Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
++10 µC++2 µCP30 cm

Een lading van +10 µC en een lading van +2 µC bevinden zich op 30 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 15 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.

q1 = +10 µCq2 = +2 µCr1 = 15 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
+ + + + + +− − − − − −e⁻1,5 × 10⁷ m/s3 cmE = 3200 N/C

Een elektron komt het homogene veld tussen twee evenwijdige platen binnen met 1,5 × 10⁷ m/s, evenwijdig aan de platen. De platen zijn 3 cm lang en het veld ertussen is 3200 N/C. Lading van het elektron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; verwaarloos de zwaartekracht. Hoe ver y is het zijwaarts afgebogen als het de platen verlaat? Geef het antwoord in mm.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 3200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

Vind de stroom IR1 die de bron levert, en die door R1 loopt.

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 3 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​12 ΩBR6​25 Ω

Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 12 ΩR5 = 2 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​24 Vt = 0R = 68 ΩL10 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning vL over de spoel op t = 1 ms.

Vs = 24 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​5 Vt = 0R = 6,8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 3 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat vC 4 V bereikt? Vind t.

Vs = 5 VR = 6,8 kΩC = 47 µFvC(0) = 3 V
t = ms
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
nBA = 20 cm², N = 250B = 0,2 T

Een spoel met 250 windingen heeft een oppervlakte van 20 cm². De spoel wordt in 250 ms omgedraaid (180° gedraaid) in een homogeen veld van 0,2 T, loodrecht op het vlak. Bepaal de gemiddelde geïnduceerde EMK ε.

N = 250A = 20 cm²B = 0,2 TΔt = 250 ms
ε = mV
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
E = 2 × 10⁵ V/m, B1​ = 0,05 TB2​ = 0,2 Tr = ?

Een deuteron gaat onafgebogen door een snelheidsselector met gekruiste velden E = 2 × 10⁵ V/m en B₁ = 0,05 T. Daarna komt het in een tweede gebied met alleen een magnetisch veld B₂ = 0,2 T, loodrecht. Bepaal de straal r van zijn baan daar.

E = 2 × 10⁵ V/mB1 = 0,05 TB2 = 0,2 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
120 V50 HzR = 30 ΩL = 20 mHI

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 50 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 20 mH
φ = °
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
12 V100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF+−VC​

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 100 Hz. Vind de effectieve spanning VC over de condensator.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF
VC = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 3,196 × 10⁶ N/C

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Veld van elke lading

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C

Richtingen en som

Beide ladingen zijn positief: in P wijzen hun velden van de eigen lading af, dus in tegengestelde richting.

E = |3,996 × 10⁶ − 799111| = 3,196 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 3,196 × 10⁶ N/C
2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: y = 1,126 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tijd tussen de platen

t = L/v₀ = 0,03/1,5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Zijwaartse versnelling

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3200/9,109 × 10⁻³¹ = 5,628 × 10¹⁴ m/s²

Doorbuiging

y = ½·a·t² = ½·5,628 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,001126 m = 1,126 mm

Antwoord

y = 1,126 mm

Het elektron wordt naar de positieve plaat geduwd, tegen de veldrichting in.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR1 = 0,8617 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8,889 Ω
Req = R1 + 8,889 = 12 + 8,889 = 20,89 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 18/20,89 = 0,8617 A

Antwoord

IR1 = 0,8617 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: Req = 7,423 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 3 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​12 ΩBR6​25 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 2 + 25 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 8,308 Ω
R3 + 8,308 = 38,31 Ω
R2 ∥ 38,31 = 4,423 Ω
Req = R1 + 4,423 = 3 + 4,423 = 7,423 Ω

Antwoord

Req = 7,423 Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vL = 0,02673 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms
i(∞) = Vs/R = 24/68 = 0,3529 A

Spoelspanning

Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 24·e−1/0,1471 = 0,02673 V

Antwoord

vL = 0,02673 V
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 221,5 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms
vC(t) = 5 + (3 − 5)·e−t/τ

Los op naar de tijd

4 = 5 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (4 − 5)/(3 − 5) = 0,5
t = τ·ln((3 − 5)/(4 − 5)) = 319,6·ln(2) = 221,5 ms

Antwoord

t = 221,5 ms
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: ε = 800 mV

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering per winding

ΔΦ = 2·0,2·0,002 = 0,0008 Wb

Gemiddelde EMK

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0008/0,25 = 0,8 V

Antwoord

ε = 800 mV
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 41,75 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geselecteerde snelheid

Onafgebogen: de elektrische kracht qE is in evenwicht met de magnetische kracht qvB.

v = E/B1 = 2 × 10⁵/0,05 = 4 × 10⁶ m/s

Straal in het tweede veld

r = mv/(|q|B2) = 0,4175 m = 41,75 cm

Antwoord

r = 41,75 cm
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 78,17 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XL = ωL = 2π·50·0,02 = 6,283 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

IR = V/R = 120/30 = 4 A
IX = V/XL = 120/6,283 = 19,1 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(IR² + IX²) = √(4² + 19,1²) = 19,51 A

Fasehoek

De spoelstroom ijlt na op V, dus de totale stroom ijlt na en de hoek is positief.

φ = arctan(IX/IR) = arctan(19,1/4) = 78,17°

Antwoord

φ = 78,17°
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: VC = 19,92 V

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−40,93)²) = 43,59 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 12/43,59 = 0,2753 A

Spanning over de condensator

VC = I·XC = 0,2753·72,34 = 19,92 V

Antwoord

VC = 19,92 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism