Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Een lading van +1 µC en een lading van −5 µC bevinden zich op 20 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 5 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.

q₁ = +1 µCq₂ = −5 µCr₁ = 5 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Ladingen van +1 µC en +1 µC liggen 20 cm uit elkaar. Punt P ligt op 5 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +1 µCd = 20 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 150 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 33 µFt = 150 ms

v_C = V

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar over R₂ is al lang gesloten, dus de spoelstroom is constant. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Hoe lang na t = 0 bereikt de spoelstroom 0,235 A? Vind t.

V_s = 9 VR₁ = 33 ΩR₂ = 10 ΩL = 47 mH

t = ms

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een cirkelvormige lus ligt in een homogeen magnetisch veld dat het papier in wijst. De veldsterkte neemt toe. Klik op de richting van de geïnduceerde stroom in de lus, gezien in de tekening.

B: het papier indB/dt > 0

1rechtsdraaiend
2tegen de klok in

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een alfadeeltje begint in rust, wordt versneld over een potentiaalverschil van 2500 V en komt dan loodrecht een homogeen magnetisch veld van 0,3 T binnen. Bepaal de straal r van zijn baan in het veld.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,3 T

r = cm

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling met L = 50 mH moet resoneren bij 500 Hz. Vind de benodigde capaciteit C.

f₀ = 500 HzL = 50 mH

C = µF

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 2 Ω, L = 1 mH en C = 1 µF. Vind de bandbreedte B (de breedte van de band tussen de halfvermogensfrequenties), in Hz.

R = 2 ΩL = 1 mHC = 1 µF

B = Hz

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 5,594 × 10⁶ N/C

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Veld van elke lading

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,15² = 1,998 × 10⁶ N/C

Richtingen en som

Het eerste veld wijst van de positieve lading af en het tweede naar de negatieve lading toe: beide wijzen dezelfde kant op.

E = |3,596 × 10⁶ + 1,998 × 10⁶| = 5,594 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 5,594 × 10⁶ N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 643272 N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Afstand en veld van één lading

r = √(10² + 5²) = 11,18 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1118² = 719200 N/C

Componenten

De componenten langs de verbindingslijn heffen elkaar op.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·719200·0,4472 = 643272 N/C

Antwoord

E = 643272 N/C

Het veld wijst langs de middelloodlijn, van de ladingen af.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 11,53 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 8 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω

R_eq = R₁ + 3,529 = 8 + 3,529 = 11,53 Ω

Antwoord

R_eq = 11,53 Ω

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,3056 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 3 + 4 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 4,421 Ω

R₃ + 4,421 = 19,42 Ω

R₂ ∥ 19,42 = 8,463 Ω

R_eq = R₁ + 8,463 = 10 + 8,463 = 18,46 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18,46 = 0,5416 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,5416·10 = 4,584 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,584/15 = 0,3056 A

Antwoord

I_R2 = 0,3056 A

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 3,639 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Sluit de bron kort om R_th te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ

v_C(∞) = 15·4,7/(10 + 4,7) = 4,796 V

Tijdconstante

τ = R_th·C = 3,197·33 = 105,5 ms

Laadcurve

v_C(t) = 4,796·(1 − e^−150/105,5) = 3,639 V

Antwoord

v_C = 3,639 V

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 0,9875 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Vóór t = 0 overbrugt de gesloten schakelaar R₂; daarna zitten R₁ en R₂ allebei in de kring.

i(0) = 9/33 = 0,2727 A

i(∞) = 9/(33 + 10) = 0,2093 A

τ = L/R = 47/43 = 1,093 ms

i(t) = 0,2093 + (0,2727 − 0,2093)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

e^−t/τ = (0,235 − 0,2093)/(0,2727 − 0,2093) = 0,4052

t = 1,093·ln(2,468) = 0,9875 ms

Antwoord

t = 0,9875 ms

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: tegen de klok in

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering

De flux het papier in neemt toe, of de flux het papier uit neemt af.

Veld van de geïnduceerde stroom

De geïnduceerde stroom werkt de verandering tegen.

Geïnduceerd veld binnen de lus: het papier uit.

Richting van de stroom

Rechterhandgreepregel: een stroom tegen de klok in geeft een veld het papier uit binnen de lus.

tegen de klok in

Antwoord

tegen de klok in

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 3,394 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Snelheid na de versnelling

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2500/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 491003 m/s

Straal in het veld

r = mv/(|q|B) = 0,03394 m = 3,394 cm

Antwoord

r = 3,394 cm

Gecombineerd: r = √(2mV/|q|)/B, dus zwaardere ionen met dezelfde lading bewegen op grotere cirkels; zo worden isotopen gescheiden.

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: C = 2,026 µF

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Resonantievoorwaarde

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,05) = 2,026 µF

Antwoord

C = 2,026 µF

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: B = 318,3 Hz

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,001·1·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,001/(1·10⁻⁶)) = 15,81

Bandbreedte

B = f₀/Q = 5033/15,81 = 318,3 Hz

Antwoord

B = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism