Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Een lading van +8 µC en een lading van +8 µC bevinden zich op 40 cm van elkaar. Punt P ligt op de lijn ertussen, op 16 cm van de eerste lading. Bereken de grootte van de elektrische veldsterkte E in P.

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Ladingen van +5 µC en +5 µC liggen 16 cm uit elkaar. Punt P ligt op 5 cm van het midden ertussen, op de middelloodlijn. Vind de grootte van de elektrische veldsterkte E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +5 µCd = 16 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W(∞) die in de spoel is opgeslagen als de schakeling tot rust is gekomen, in mJ.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 30 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat v_C 24 V bereikt? Vind t.

V_s = 15 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een spoel met 50 windingen heeft een oppervlakte van 200 cm². De spoel wordt in 40 ms omgedraaid (180° gedraaid) in een homogeen veld van 0,3 T, loodrecht op het vlak. Bepaal de gemiddelde geïnduceerde EMK ε.

N = 50A = 200 cm²B = 0,3 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een lange solenoïde zonder kern heeft 100 windingen, een lengte van 25 cm en een diameter van 4 cm. Bepaal zijn zelfinductie L.

N = 100l = 25 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 200 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 10 V (rms), 50 Hz. Vind de effectieve spanning V_C over de condensator.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 47 µF

V_C = V

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 1,561 × 10⁶ N/C

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Veld van elke lading

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,16² = 2,809 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,24² = 1,249 × 10⁶ N/C

Richtingen en som

Beide ladingen zijn positief: in P wijzen hun velden van de eigen lading af, dus in tegengestelde richting.

E = |2,809 × 10⁶ − 1,249 × 10⁶| = 1,561 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 1,561 × 10⁶ N/C

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: E = 5,354 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Afstand en veld van één lading

r = √(8² + 5²) = 9,434 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,09434² = 5,051 × 10⁶ N/C

Componenten

De componenten langs de verbindingslijn heffen elkaar op.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·5,051 × 10⁶·0,53 = 5,354 × 10⁶ N/C

Antwoord

E = 5,354 × 10⁶ N/C

Het veld wijst langs de middelloodlijn, van de ladingen af.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,4054 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 8 + 5,455 = 13,45 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/13,45 = 0,8919 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,8919·8 = 4,865 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,865/12 = 0,4054 A

Antwoord

I_R2 = 0,4054 A

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 13,8 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 2 + 15 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 6,296 Ω

R₃ + 6,296 = 18,3 Ω

R₂ ∥ 18,3 = 1,803 Ω

R_eq = R₁ + 1,803 = 12 + 1,803 = 13,8 Ω

Antwoord

R_eq = 13,8 Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W(∞) = 15,5 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Opgeslagen energie

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0,4545² = 15,5 mJ

Antwoord

W(∞) = 15,5 mJ

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 24,01 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 15 + (30 − 15)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

24 = 15 + (15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (24 − 15)/(30 − 15) = 0,6

t = τ·ln((30 − 15)/(24 − 15)) = 47·ln(1,667) = 24,01 ms

Antwoord

t = 24,01 ms

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: ε = 15 V

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering per winding

ΔΦ = 2·0,3·0,02 = 0,012 Wb

Gemiddelde EMK

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,012/0,04 = 15 V

Antwoord

ε = 15 V

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: L = 63,17 µH

Doorsnede

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

Zelfinductie

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,001257/0,25 = 6,317 × 10⁻⁵ H = 63,17 µH

Antwoord

L = 63,17 µH

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 9,292 Ω

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_L = ωL = 2π·200·0,02 = 25,13 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 100/10 = 10 A

I_X = V/X_L = 100/25,13 = 3,979 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(10² + 3,979²) = 10,76 A

Impedantie

|Z| = V/I = 100/10,76 = 9,292 Ω

Antwoord

|Z| = 9,292 Ω

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_C = 8,389 V

Reactanties

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (10,81)²) = 80,73 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 10/80,73 = 0,1239 A

Spanning over de condensator

V_C = I·X_C = 0,1239·67,73 = 8,389 V

Antwoord

V_C = 8,389 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism