Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Veld van een puntlading
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading
F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie
Req = R1 + R2 + …
Weerstanden parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Twee parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Wet van Ohm
V = I·R
Vermogen
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
  2. Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
  4. Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
  2. Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
  3. Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
  4. Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad
B = μ0I/(2πr)
Midden van een platte spoel
B = μ0NI/(2R)
Lange solenoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad
F = BIL·sin θ
Kracht op een lading
F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Zelfinductie
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Snelheidsselector en spectrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
  2. Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
  3. Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
  4. Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z

Methode

  1. Reken de frequentie om: ω = 2πf.
  2. Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
  3. Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
  4. Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld
++6 µC++5 µCr = 15 cm

Twee identieke kleine metalen bolletjes hebben ladingen van +6 µC en +5 µC. Ze worden tegen elkaar aan gehouden en daarna weer op 15 cm van elkaar gezet. Vind de grootte van de kracht F tussen hen nu. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = +5 µCr = 15 cm
F = N
2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk
+ + + + + +− − − − − −e⁻1,5 × 10⁷ m/s6 cmE = 900 N/C

Een elektron komt het homogene veld tussen twee evenwijdige platen binnen met 1,5 × 10⁷ m/s, evenwijdig aan de platen. De platen zijn 6 cm lang en het veld ertussen is 900 N/C. Lading van het elektron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; verwaarloos de zwaartekracht. Hoe ver y is het zijwaarts afgebogen als het de platen verlaat? Geef het antwoord in mm.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩIR2​AR4​2 ΩB

Vind de stroom IR2 door R2.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​3 ΩBR6​12 Ω

Vind de vervangingsweerstand Req die de bron V1 ziet.

V1 = 36 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 ΩR5 = 30 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 ΩL100 mHi(t)

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning vL over de spoel op t = 20 ms.

Vs = 5 VR = 10 ΩL = 100 mHt = 20 ms
vL = V
6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 4 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning vC op t = 250 ms.

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 Vt = 250 ms
vC = V
7.Magnetische velden & inductieGemiddeld
2 A20 Ad = 12 cmP

Twee lange evenwijdige draden op 12 cm van elkaar voeren stromen van 2 A en 20 A in dezelfde richting. Bepaal de grootte van de magnetische fluxdichtheid B in punt P, precies halverwege tussen de draden.

I1 = 2 AI2 = 20 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.Magnetische velden & inductieMoeilijk
l = 50 cmN = 1000, ⌀ 3 cm

Een lange solenoïde zonder kern heeft 1000 windingen, een lengte van 50 cm en een diameter van 3 cm. Bepaal zijn zelfinductie L.

N = 1000l = 50 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
230 V50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 47 µF

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 50 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 47 µF
φ = °
10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
230 V100 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 50 ΩC = 47 µFI

Een weerstand R1 staat in serie met een parallelschakeling van R2 en een condensator C, aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 100 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 50 ΩC = 47 µF
I = A

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 12,09 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Lading na het aanraken

q′ = (6 + 5)/2 = 5,5 µC

Nieuwe kracht

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 12,09 N

Antwoord

F = 12,09 N

Beide bolletjes hebben nu hetzelfde teken, dus ze stoten elkaar af.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: y = 1,266 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tijd tussen de platen

t = L/v₀ = 0,06/1,5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

Zijwaartse versnelling

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·900/9,109 × 10⁻³¹ = 1,583 × 10¹⁴ m/s²

Doorbuiging

y = ½·a·t² = ½·1,583 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0,001266 m = 1,266 mm

Antwoord

y = 1,266 mm

Het elektron wordt naar de positieve plaat geduwd, tegen de veldrichting in.

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: IR2 = 0,4796 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R3 + R4 = 15 + 2 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1,789 Ω
Req = R1 + 1,789 = 15 + 1,789 = 16,79 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen Req, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

IR1 = V1/Req = 9/16,79 = 0,5361 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,5361·15 = 0,9592 V
IR2 = VA/R2 = 0,9592/2 = 0,4796 A

Antwoord

IR2 = 0,4796 A
4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: Req = 8,949 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​3 ΩBR6​12 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R5 + R6 = 30 + 12 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 2,8 Ω
R3 + 2,8 = 5,8 Ω
R2 ∥ 5,8 = 2,949 Ω
Req = R1 + 2,949 = 6 + 2,949 = 8,949 Ω

Antwoord

Req = 8,949 Ω
5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vL = 0,6767 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 5/10 = 0,5 A

Spoelspanning

Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−20/10 = 0,6767 V

Antwoord

vL = 0,6767 V
6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: vC = 9,507 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 10 + (4 − 10)·e−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

vC(250) = 10 + (−6)·e−250/100 = 9,507 V

Antwoord

vC = 9,507 V
7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: B = 60 µT

Magnetisch veld van stromen: rond een lange rechte draad zijn de veldlijnen cirkels (rechterhandgreepregel) met B = μ₀I/(2πr). In het midden van een platte cirkelvormige spoel met N windingen is B = μ₀NI/(2R). In een lange solenoïde is het veld homogeen, B = μ₀nI met n = N/L windingen per meter, ongeacht de straal. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Werk in SI-eenheden (meters en ampère) en tel de velden van meerdere bronnen op als vectoren.

Veld van elke draad in P

B1 = 2 × 10⁻⁷·2/0,06 = 6,667 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·20/0,06 = 66,67 µT

Combineer

B = |B₁ − B₂| = 60 µT

Antwoord

B = 60 µT
8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: L = 1,777 mH

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Doorsnede

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Zelfinductie

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0,0007069/0,5 = 0,001777 H = 1,777 mH

Antwoord

L = 1,777 mH
9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −53,94 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−20,6)²) = 25,48 Ω

Fasehoek

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−20,6/15) = −53,94°

Antwoord

φ = −53,94°
10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 6,638 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

XC = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Zp te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15,72 − j23,21 Ω

Totale impedantie

Z = 10 + 15,72 − j23,21 = 25,72 − j23,21 Ω
|Z| = √(25,72² + 23,21²) = 34,65 Ω

Stroom

I = V/|Z| = 230/34,65 = 6,638 A

Antwoord

I = 6,638 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism