Natuurkunde 2: Elektriciteit en magnetisme: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Wet van Coulomb en elektrische velden

Wet van Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Veld van een puntlading: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kracht op een lading: F = q·E

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetische velden & inductie

Lange rechte draad: B = μ₀I/(2πr)
Midden van een platte spoel: B = μ₀NI/(2R)
Lange solenoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kracht op een draad: F = BIL·sin θ
Kracht op een lading: F = |q|vB·sin θ
Cirkelbeweging: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Evenwijdige draden: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Wet van Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegende staaf: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Zelfinductie: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Wederzijdse inductie: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Snelheidsselector en spectrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Reken elke grootheid om naar SI-eenheden: cm naar m, cm² naar m², mT en µT naar T.
Kies de juiste formule: B = μ₀I/(2πr) voor een draad, μ₀NI/(2R) voor het midden van een spoel, μ₀nI in een solenoïde; F = BIL·sin θ of |q|vB·sin θ voor krachten.
Bepaal bij inductie de fluxverandering ΔΦ = Δ(BA·cos θ) en gebruik ε = N·ΔΦ/Δt, of ε = BLv voor een bewegende staaf en NBAω voor een draaiende spoel.
Bepaal richtingen apart met de rechterhandregels, en met de wet van Lenz voor geïnduceerde stromen.

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

2Oefenopgaven

1.Wet van Coulomb en elektrische veldenGemiddeld

Ladingen van +4 µC en +10 µC liggen 30 cm uit elkaar. Op welke afstand x van de lading van +4 µC, op de lijn ertussen, is het elektrische veld nul?

q₁ = +4 µCq₂ = +10 µCd = 30 cm

x = cm

2.Wet van Coulomb en elektrische veldenMoeilijk

Drie positieve puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek: q₃ = 3 µC zit in het hoekpunt met de rechte hoek, q₁ = 3 µC zit 3 cm daarvandaan langs de ene rechthoekszijde en q₂ = 10 µC zit 8 cm daarvandaan langs de andere rechthoekszijde. Bereken de grootte van de resulterende elektrische kracht F op q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 10 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert een constante stroom van 2,5 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Vind de stroom i op t = 1 ms.

i(0) = 2,5 AR = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar over R₂ is al lang gesloten, dus de spoelstroom is constant. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Hoe lang na t = 0 bereikt de spoelstroom 0,63 A? Vind t.

V_s = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩL = 68 mH

t = ms

7.Magnetische velden & inductieGemiddeld

Een cirkelvormige lus ligt in een homogeen magnetisch veld dat het papier uit wijst. De veldsterkte neemt toe. Klik op de richting van de geïnduceerde stroom in de lus, gezien in de tekening.

B: het papier uitdB/dt > 0

1rechtsdraaiend
2tegen de klok in

8.Magnetische velden & inductieMoeilijk

Een alfadeeltje gaat onafgebogen door een snelheidsselector met gekruiste velden E = 2 × 10⁴ V/m en B₁ = 0,5 T. Daarna komt het in een tweede gebied met alleen een magnetisch veld B₂ = 0,5 T, loodrecht. Bepaal de straal r van zijn baan daar.

E = 2 × 10⁴ V/mB₁ = 0,5 TB₂ = 0,5 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 200 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 50 Ω, L = 200 mH en C = 1 µF. Vind de kwaliteitsfactor Q bij resonantie.

R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Q =

3Oplossingen

1.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: x = 11,62 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gelijke velden

4/x² = 10/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(10/4) = 1,581

Positie

x = 30/(1 + 1,581) = 11,62 cm

Antwoord

x = 11,62 cm

Het nulpunt ligt altijd dichter bij de kleinere lading.

2.Wet van Coulomb en elektrische velden

Antwoord: F = 99,29 N

Wet van Coulomb: twee puntladingen trekken elkaar aan of stoten elkaar af met F = k·|q₁·q₂|/r², met k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Het veld van een puntlading is E = k·|q|/r², gericht van een positieve lading af en naar een negatieve lading toe. Krachten en velden van meerdere ladingen tel je op als vectoren.

Elke kracht op q₃

F₁ = k·3·3 × 10⁻¹²/0,03² = 89,9 N

F₂ = k·10·3 × 10⁻¹²/0,08² = 42,14 N

Vectorsom

F = √(89,9² + 42,14²) = 99,29 N

Antwoord

F = 99,29 N

3.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,7895 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω

R_eq = R₁ + 4,615 = 10 + 4,615 = 14,62 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/14,62 = 1,026 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,026·10 = 4,737 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,737/6 = 0,7895 A

Antwoord

I_R2 = 0,7895 A

4.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 15,38 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 13,02 Ω

R₃ + 13,02 = 25,02 Ω

R₂ ∥ 25,02 = 9,378 Ω

R_eq = R₁ + 9,378 = 6 + 9,378 = 15,38 Ω

Antwoord

R_eq = 15,38 Ω

5.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,5578 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms

Afname van de stroom

i(t) = 2,5·e^−1/0,6667 = 0,5578 A

Antwoord

i = 0,5578 A

6.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 1,885 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Vóór t = 0 overbrugt de gesloten schakelaar R₂; daarna zitten R₁ en R₂ allebei in de kring.

i(0) = 9/10 = 0,9 A

i(∞) = 9/(10 + 15) = 0,36 A

τ = L/R = 68/25 = 2,72 ms

i(t) = 0,36 + (0,9 − 0,36)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

e^−t/τ = (0,63 − 0,36)/(0,9 − 0,36) = 0,5

t = 2,72·ln(2) = 1,885 ms

Antwoord

t = 1,885 ms

7.Magnetische velden & inductie

Antwoord: rechtsdraaiend

Elektromagnetische inductie: de flux door een lus is Φ = BA·cos θ, met θ tussen B en de normaal van de lus. Wet van Faraday: een fluxverandering induceert EMK = −N·dΦ/dt in een spoel met N windingen, en de wet van Lenz zegt dat de geïnduceerde stroom zo loopt dat zijn eigen veld de verandering tegenwerkt. Een staaf die dwars door een veld beweegt geeft EMK = BLv. Een spoel die met ω draait geeft e = NBAω·sin ωt, met piekwaarde NBAω. Zelfinductie: EMK = −L·di/dt, met L = μ₀N²A/l voor een lange solenoïde, en de opgeslagen energie is W = ½LI². Twee gekoppelde spoelen: EMK₂ = −M·di₁/dt met M = k√(L₁L₂).

Fluxverandering

De flux het papier uit neemt toe, of de flux het papier in neemt af.

Veld van de geïnduceerde stroom

De geïnduceerde stroom werkt de verandering tegen.

Geïnduceerd veld binnen de lus: het papier in.

Richting van de stroom

Rechterhandgreepregel: een stroom tegen de klok in geeft een veld het papier uit binnen de lus.

rechtsdraaiend

Antwoord

rechtsdraaiend

8.Magnetische velden & inductie

Antwoord: r = 0,1659 cm

Magnetische krachten: een rechte draad met stroom I in een veld B ondervindt F = BIL·sin θ, en een bewegende lading F = |q|vB·sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de stroom (of snelheid) en B. De kracht staat loodrecht op beide: wijs met de vingers van de rechterhand langs I of v, krul ze naar B, en de duim geeft F voor een positieve lading; keer het om voor een negatieve lading. Omdat F loodrecht op v staat, beweegt een lading die dwars door een homogeen veld gaat zich op een cirkel: |q|vB = mv²/r geeft r = mv/(|q|B) en de periode T = 2πm/(|q|B), die niet van de snelheid afhangt. Twee evenwijdige draden trekken elkaar aan bij stromen in dezelfde richting: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geselecteerde snelheid

Onafgebogen: de elektrische kracht qE is in evenwicht met de magnetische kracht qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁴/0,5 = 40000 m/s

Straal in het tweede veld

r = mv/(|q|B₂) = 0,001659 m = 0,1659 cm

Antwoord

r = 0,1659 cm

9.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 67,5 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (144,8)²) = 156,8 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(144,8/60) = 67,5°

Antwoord

φ = 67,5°

10.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: Q = 8,944

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 8,944

Antwoord

Q = 8,944

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism