Bepaal de omzetter (buck, boost of buck-boost) en de duty cycle D uit de spanningsverhouding.
Gebruik de volt-secondebalans over de spoel: de gemiddelde spoelspanning over een periode is nul.
Bepaal de spoelspanning terwijl de schakelaar aan staat, daarna ΔIL = VL·D/(L·f).
Bepaal voor de uitgangsrimpel de lading die in en uit de condensator stroomt; stel voor de grens van continue geleiding de gemiddelde spoelstroom gelijk aan ΔIL/2.
Gelijkstroommotoren
Ankerketen
V = E + IaRa
Tegen-EMK en koppel
E = k·ω, T = k·Ia
Snelheid
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Onbelast toerental en blokkeerkoppel
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Vermogens
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Starten
Istart = V/(Ra + Rst)
Toerentalregeling
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximaal ontwikkeld vermogen
Pmax = V²/(4Ra)
Chopperaandrijving
Va = D·Vdc
Methode
Teken de ankerketen: voeding V, weerstand Ra en de tegen-EMK E in serie.
Gebruik V = E + Ia·Ra om spanning, stroom en tegen-EMK te verbinden.
Gebruik E = k·ω voor het toerental en T = k·Ia voor het koppel, met ω = 2π·n/60.
Begin voor vermogen en rendement bij V·Ia, trek het koperverlies Ia²·Ra af en daarna de rotatieverliezen.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
2Oefenopgaven
1.DC-DC-omzettersGemiddeld
Een ideale boost-omzetter zet 36 V om in 60 V bij 500 kHz met L = 10 µH. Bepaal de piek-piek-rimpelstroom ΔIL door de spoel.
Vin = 36 VVo = 60 Vf = 500 kHzL = 10 µH
ΔIL = A
2.DC-DC-omzettersMoeilijk
Een ideale inverterende buck-boost-omzetter zet 48 V om in −32 V voor een belasting van 25 Ω bij 200 kHz. Bepaal de kleinste zelfinductie Lcrit voor continue geleiding.
Vin = 48 VVo = −32 Vf = 200 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
3.GelijkstroommotorenGemiddeld
Een gelijkstroommotor (k = 0,6 N·m/A, Ra = 1,2 Ω) draait op 240 V en drijft een lastkoppel van 9 N·m aan. Bepaal zijn toerental n in rpm.
V = 240 Vk = 0,6 N·m/ARa = 1,2 ΩT = 9 N·m
n = rpm
4.GelijkstroommotorenMoeilijk
Een gelijkstroomchopper voedt een motor (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 0,25 Ω) uit een gelijkspanningsbus van 240 V. De gemiddelde ankerspanning is D·240 V. Bepaal de duty cycle D waarmee de motor draait op 600 rpm bij een last van 3,6 N·m.
Een belasting met impedantie Z = 20 + j15 Ω is aangesloten op een eenfasige voeding van 120 V (rms). Vind het blindvermogen Q dat ze opneemt.
V = 120 VZ = 20 + j15 Ω
Q = var
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een bron van 100 V (rms), 60 Hz heeft een inwendige impedantie Zs = 4 + j10 Ω. De belastingsimpedantie ZL kan vrij worden gekozen. Vind het maximale werkelijk vermogen Pmax dat aan de belasting kan worden geleverd.
Vs = 100 V (rms)f = 60 HzZs = 4 + j10 Ω
Pmax = W
7.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 12 + j9 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 400 VZ = 12 + j9 Ω per fase
P = kW
8.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 690 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 200 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Oplossingen
1.DC-DC-omzetters
Antwoord: ΔIL = 2,88 A
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 1 − 36/60 = 0,4
Spoelspanning tijdens de aan-tijd
Zolang S aan staat, ligt de spoel direct over Vin.
VL = 36 V
Rimpelstroom
ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0,4/(10·10⁻⁶·500·10³) = 2,88 A
Antwoord
ΔIL = 2,88 A
2.DC-DC-omzetters
Antwoord: Lcrit = 22,5 µH
DC-DC-omzetters: een schakelaar S staat gedurende de fractie D van elke periode T = 1/f aan. In de stationaire toestand is de gemiddelde spoelspanning nul (volt-secondebalans), wat de ideale omzettingsverhoudingen geeft bij continue geleiding: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), inverterende buck-boost |Vo| = Vin·D/(1 − D). Een ideale omzetter behoudt het vermogen: Vin·Iin = Vo·Io. Zolang S aan staat, stijgt de spoelstroom met ΔIL = VL·D·T/L, met VL = Vin − Vo voor de buck en Vin voor de boost en de buck-boost. De uitgangsrimpel is ΔVo = ΔIL/(8fC) voor de buck en Io·D/(fC) voor de boost en de buck-boost. De spoelstroom raakt net nul (de grens van continue geleiding) als de gemiddelde spoelstroom gelijk is aan ΔIL/2.
Duty cycle
D = 32/(48 + 32) = 0,4
Grensvoorwaarde
Stel de gemiddelde spoelstroom gelijk aan de helft van de rimpelstroom en los op voor L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Kritieke zelfinductie
Lcrit = (1 − 0,4)²·25/(2200·10³) = 22,5 µH
Antwoord
Lcrit = 22,5 µH
3.Gelijkstroommotoren
Antwoord: n = 3533 rpm
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Ankerstroom
Ia = T/k = 9/0,6 = 15 A
Tegen-EMK en toerental
E = 240 − 15·1,2 = 222 V
ω = E/k = 370 rad/s → n = 3533 rpm
Antwoord
n = 3533 rpm
4.Gelijkstroommotoren
Antwoord: D = 9,104 %
Gelijkstroommotor: het anker is een weerstand Ra in serie met de tegen-EMK E, dus V = E + Ia·Ra. De tegen-EMK groeit met het toerental, E = k·ω, en het koppel met de stroom, T = k·Ia, met dezelfde motorconstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-eenheden. Reken toerentallen om met ω = 2π·n/60. Het ontwikkelde vermogen is E·Ia = T·ω; het ingangsvermogen is V·Ia, en het koperverlies Ia²Ra en het rotatieverlies vormen het verschil. Het toerental daalt lineair met het koppel, ω = V/k − Ra·T/k², van het onbelaste toerental V/k tot nul bij het blokkeerkoppel k·V/Ra. In stilstand is E = 0, dus de aanloopstroom V/Ra is groot, tenzij een weerstand hem beperkt.
Vereiste ankerspanning
Va = 0,3·62,83 + 12·0,25 = 21,85 V
Duty cycle
D = 21,85/240 = 9,104 %
Antwoord
D = 9,104 %
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Q = 345,6 var
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Stroom
|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A
Blindvermogen
Q = I²·X = 4,8²·15 = 345,6 var
Antwoord
Q = 345,6 var
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Pmax = 625 W
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Complex geconjugeerde aanpassing
De reactantie van de belasting heft die van de bron op, en de belastingsweerstand is gelijk aan de bronweerstand.
ZL = Zs* = 4 − j10 Ω
Maximaal vermogen
I = Vs/(2Rs) = 100/8 = 12,5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 100²/(4·4) = 625 W
Antwoord
Pmax = 625 W
7.Draaistroomvermogen
Antwoord: P = 8,533 kW
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Fasestroom
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 230,9/15 = 15,4 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·15,4²·12 = 8,533 kW
Antwoord
P = 8,533 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
8.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 503,1 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 75,26 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.