Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Split-halfbetrouwbaarheid houdt in:

ATwee observatoren elk de helft van de sessies laten doen
BTwee helften van de steekproef op verschillende momenten testen
CDe steekproef splitsen in een experimentele en een controlegroep en hun scores vergelijken
DScores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker gebruikt een vragenlijst, interviews en observatie om werkstress te onderzoeken, en de bevindingen komen overeen. Hoe heet deze aanpak?

AReplicatie
BTriangulatie
CCounterbalancing
DStratificatie

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 22, 59, 55, 51, 15.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 85?

μ = 100σ = 10x = 85

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 7p = 0,3k = 3

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 82 en 118 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 118

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 11 items heeft gemiddelde 75,5 en standaardafwijking s = 3. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 11x̄ = 75,5s = 395%t(10) = 2,228

bovengrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 7 proefvelden, gemiddelde opbrengst 14,5 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Groep 2: 14 proefvelden, gemiddelde 25 kg, standaardafwijking 2 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 14,5s₁ = 7,5n₂ = 14x̄₂ = 25s₂ = 299%t(19) = 2,861

ondergrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 83 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 14 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 92,5 mm, bekende standaardafwijking 19 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 30x̄₁ = 83 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 30x̄₂ = 92,5 mmσ₂ = 19 mm

z =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 20E = 2,595%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (25,5, 92) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(25,5, 92)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “stedelijk, hoog”.

rijtotaal = 61kolomtotaal = 49N = 136

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,01 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

Waarom dit het antwoord is

Als beide helften hetzelfde construct meten, moeten de scores erop sterk correleren. Cronbachs alfa breidt dit idee uit naar alle mogelijke splitsingen.

Antwoord

D · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Triangulatie

Waarom dit het antwoord is

Triangulatie gebruikt meerdere methoden, bronnen of onderzoekers. Overeenstemming tussen hen vergroot het vertrouwen in de validiteit van de bevindingen.

Antwoord

B · Triangulatie

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 20,34

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 202/5 = 40,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−18,4)² + 18,6² + 14,6² + 10,6² + (−25,4)² = 1655

Standaardafwijking

s = √(1655/4) = 20,34

Antwoord

s = 20,34

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,06681

Standaardiseren

z = −1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,117

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,45

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,35

Variantie

Var(X) = 3,35 − 1,45² = 1,247

σ = √1,247 = 1,117

Antwoord

σ = 1,117

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2269

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 3) = 35·0,3³·0,7⁴ = 35·0,027·0,2401 = 0,2269

Antwoord

P = 0,2269

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7699

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,2) − Φ(−1,2) = 0,8849 − 0,1151 = 0,7699

Antwoord

P = 0,7699

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 26,95 min

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Antwoord

x = 26,95 min

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 77,52

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Foutmarge

E = 2,228·3/√11 = 2,015

Interval

75,5 ± 2,015 → [73,48, 77,52]

Antwoord

bovengrens = 77,52

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −16,5 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (6·7,5² + 13·2²)/19 = 20,5

s_p = 4,528

Foutmarge

E = 2,861·4,528·√(1/7 + 1/14) = 5,996

Interval

−10,5 ± 5,996 → [−16,5, −4,504]

Antwoord

ondergrens = −16,5 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,205

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(14²/30 + 19²/30) = √18,57 = 4,309

Toetsingsgrootheid

z = (83 − 92,5)/4,309 = −2,205

Antwoord

z = −2,205

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 246

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,96·20/2,5)² = 245,9

Naar boven afronden

n = 246

Antwoord

n = 246

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9971

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 104/5 = 20,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 326,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 114/√(40·326,8) = 0,9971

Antwoord

r = 0,9971

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 3,19

Gemiddelden

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 454/6 = 75,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 690

Regressielijn

b = 690/157,5 = 4,381

a = 75,67 − 4,381·22,5 = −22,9

ŷ = −22,9 + 4,381·x

Voorspelde waarde

ŷ = −22,9 + 4,381·25,5 = 88,81

Residu

e = 92 − 88,81 = 3,19

Antwoord

e = 3,19

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 21,98

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 61·49/136 = 21,98

Antwoord

E = 21,98

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 16,36

Verwachte aantallen

lijn 1: 60, 40

lijn 2: 24, 16

lijn 3: 36, 24

Chikwadraatgrootheid

χ² = (74 − 60)²/60 + (26 − 40)²/40 + (18 − 24)²/24 + (22 − 16)²/16 + (28 − 36)²/36 + (32 − 24)²/24

χ² = 16,36

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 9,210

16,36 > 9,210

Antwoord

χ² = 16,36

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology