Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

De standaardfout van het gemiddelde wordt kleiner als:

ADe steekproefomvang toeneemt
BDe variabele op ordinaal niveau wordt gemeten
CDe steekproefomvang afneemt
DHet gemiddelde toeneemt

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Bewegen vermindert depressie, en het effect ontstaat doordat bewegen de slaap verbetert, wat op zijn beurt de depressie verlaagt. Slaap kan het best worden omschreven als:

AModerator
BStorende variabele
CControlevariabele
DMediator

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 27, 56, 10, 39, 45, 14.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 11? De volgorde doet er niet toe.

n = 11k = 2

N =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 11p = 0,7k = 4

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 95,4 s. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95,4 s

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 8 items heeft gemiddelde 94 en standaardafwijking s = 13,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 8x̄ = 94s = 13,599%t(7) = 3,499

ondergrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 55,5 kg, standaardafwijking 1 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 44 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 55,5s₁ = 1n₂ = 5x̄₂ = 44s₂ = 4,590%t(12) = 1,782

bovengrens = kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 5 studenten, gemiddelde score 85, standaardafwijking 7. Groep 2: 7 studenten, gemiddelde score 92,6, standaardafwijking 3,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 5x̄₁ = 85s₁ = 7n₂ = 7x̄₂ = 92,6s₂ = 3,5

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 24. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 90%δ = 5σ = 24z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 12) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 12)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, geen defect”.

rijtotaal = 95kolomtotaal = 71N = 203

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · De steekproefomvang toeneemt

Waarom dit het antwoord is

De standaardfout schat hoeveel steekproefgemiddelden rond het populatiegemiddelde variëren. Grotere steekproeven geven preciezere schattingen.

Antwoord

A · De steekproefomvang toeneemt

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Mediator

Waarom dit het antwoord is

Een mediator ligt op het causale pad tussen voorspeller en uitkomst en verklaart hoe of waarom het effect ontstaat.

Antwoord

D · Mediator

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,04

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 191/6 = 31,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−4,833)² + 24,17² + (−21,83)² + 7,167² + 13,17² + (−17,83)² = 1627

Standaardafwijking

s = √(1627/5) = 18,04

Antwoord

s = 18,04

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9772

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Antwoord

P = 0,9772

5.Kansrekening

Antwoord: N = 55

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Antwoord

N = 55

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,01733

Binomiale formule

P(X = 4) = 330·0,7⁴·0,3⁷ = 330·0,2401·0,0002187 = 0,01733

Antwoord

P = 0,01733

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9332

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaardiseren

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

Rechterstaart

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

8.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7881

Verdeling van het verschil

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 77,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Foutmarge

E = 3,499·13,5/√8 = 16,7

Interval

94 ± 16,7 → [77,3, 110,7]

Antwoord

ondergrens = 77,3

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 14,21 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (8·1² + 4·4,5²)/12 = 7,417

s_p = 2,723

Foutmarge

E = 1,782·2,723·√(1/9 + 1/5) = 2,707

Interval

11,5 ± 2,707 → [8,793, 14,21]

Antwoord

bovengrens = 14,21 kg

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,5

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (4·7² + 6·3,5²)/10 = 26,95

s_p = 5,191

Standaardfout

SE = 5,191·√(1/5 + 1/7) = 3,04

Toetsingsgrootheid

t = (85 − 92,6)/3,04 = −2,5

Antwoord

t = −2,5

Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 198

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 1,282)·24/5)² = 197,4

Naar boven afronden

n = 198

Antwoord

n = 198

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,883

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 378/6 = 63

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 75

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 364

Determinatiecoëfficiënt

r² = 75²/(17,5·364) = 0,883

Antwoord

r² = 0,883

Ongeveer 88,3% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,9

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Regressielijn

b = −26/10 = −2,6

a = 18,2 − (−2,6)·3 = 26

ŷ = 26 − 2,6·x

Voorspelde waarde

ŷ = 26 + (−2,6)·3,5 = 16,9

Residu

e = 12 − 16,9 = −4,9

Antwoord

e = −4,9

Het punt ligt onder de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 33,23

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 95·71/203 = 33,23

Antwoord

E = 33,23

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 36,17

Verwachte aantallen

leeftijd 18–30: 28, 12

leeftijd 31–50: 70, 30

leeftijd 51+: 70, 30

Chikwadraatgrootheid

χ² = (23 − 28)²/28 + (17 − 12)²/12 + (54 − 70)²/70 + (46 − 30)²/30 + (91 − 70)²/70 + (9 − 30)²/30

χ² = 36,17

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

36,17 > 5,991

Antwoord

χ² = 36,17

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology