Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welk soort data levert een open vraag in een interview op?

ARatiodata
BAlleen nominale kwantitatieve data
CIntervaldata
DKwalitatieve data

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Bewegen vermindert depressie, en het effect ontstaat doordat bewegen de slaap verbetert, wat op zijn beurt de depressie verlaagt. Slaap kan het best worden omschreven als:

AModerator
BControlevariabele
CMediator
DStorende variabele

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 26, 44, 23, 24, 13.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 116?

μ = 100σ = 8x = 116

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,3, 0,05

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 20. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3Y = 2X + 20

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,7324 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,7324

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 55,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 44 h, bekende standaardafwijking 20 h. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 55,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 30x̄₂ = 44 hσ₂ = 20 h95%

bovengrens = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 22. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 22E = 595%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 7 studenten, gemiddelde score 78, standaardafwijking 3,5. Groep 2: 5 studenten, gemiddelde score 70,6, standaardafwijking 9. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 7x̄₁ = 78s₁ = 3,5n₂ = 5x̄₂ = 70,6s₂ = 9

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 75 van de 150 patiënten met behandeling A en 120 van de 300 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 120n₂ = 300

z =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 321Σx² = 220Σy² = 21097Σxy = 2064

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 65?

n = 5ŷ = 65

x =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, groot”.

rijtotaal = 45kolomtotaal = 51N = 129

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Kwalitatieve data

Waarom dit het antwoord is

Open vragen leveren rijke kwalitatieve data op die moeilijker statistisch te analyseren zijn dan antwoorden op gesloten vragen.

Antwoord

D · Kwalitatieve data

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Mediator

Waarom dit het antwoord is

Een mediator ligt op het causale pad tussen voorspeller en uitkomst en verklaart hoe of waarom het effect ontstaat.

Antwoord

C · Mediator

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 11,25

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 130/5 = 26

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 0² + 18² + (−3)² + (−2)² + (−13)² = 506

Standaardafwijking

s = √(506/4) = 11,25

Antwoord

s = 11,25

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9772

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Antwoord

P = 0,9772

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,22

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,05 = 1,75

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,05 = 4,55

Variantie

Var(X) = 4,55 − 1,75² = 1,488

σ = √1,488 = 1,22

Antwoord

σ = 1,22

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 24,82

Spreiding van X

μ = 24, Var(X) = 154, σ_X = 12,41

Lineaire transformatie

σ_Y = |2|·12,41 = 24,82

Antwoord

σ_Y = 24,82

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 2·24 + 20 = 68.

7.Normale verdeling

Antwoord: z = −0,62

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,7324 = 0,2676

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,2676 in de tabel en lees z af.

z = −0,62

Antwoord

z = −0,62

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 187 cm

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Antwoord

x = 186,97 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 19,89 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 55,5 − 44 = 11,5

Standaardfout

SE = √(20²/80 + 20²/30) = 4,282

Foutmarge

E = 1,96·4,282 = 8,392

Interval

11,5 ± 8,392 → [3,108, 19,89]

Antwoord

bovengrens = 19,89 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 75

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·22/5)² = 74,37

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 75

Antwoord

n = 75

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,005

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (6·3,5² + 4·9²)/10 = 39,75

s_p = 6,305

Standaardfout

SE = 6,305·√(1/7 + 1/5) = 3,692

Toetsingsgrootheid

t = (78 − 70,6)/3,692 = 2,005

Antwoord

t = 2,005

Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,018

Steekproeffracties

p̂₁ = 75/150 = 0,5

p̂₂ = 120/300 = 0,4

p̂ = 195/450 = 0,4333

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,4333·0,5667·(1/150 + 1/300)) = 0,04955

Toetsingsgrootheid

z = (0,5 − 0,4)/0,04955 = 2,018

Antwoord

z = 2,018

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9869

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 2064 − 30·321/5 = 138

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 21097 − 321²/5 = 488,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 138/√(40·488,8) = 0,9869

Antwoord

r = 0,9869

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 24,57

Gemiddelden

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 293/5 = 58,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366

Regressielijn

b = 366/90 = 4,067

a = 58,6 − 4,067·23 = −34,93

ŷ = −34,93 + 4,067·x

Los op naar x

x = (65 − (−34,93))/4,067 = 24,57

Antwoord

x = 24,57

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 17,79

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 45·51/129 = 17,79

Antwoord

E = 17,79

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 2,222

Verwachte aantallen

fabriek A: 18, 42

fabriek B: 24, 56

fabriek C: 30, 70

Chikwadraatgrootheid

χ² = (17 − 18)²/18 + (43 − 42)²/42 + (20 − 24)²/24 + (60 − 56)²/56 + (35 − 30)²/30 + (65 − 70)²/70

χ² = 2,222

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

2,222 < 5,991

Antwoord

χ² = 2,222

χ² ligt onder de kritieke waarde, dus H₀ wordt niet verworpen: er is geen significant bewijs voor een verband.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology