Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welke statistiek is geschikt voor het verband tussen twee reeksen rangordes, zoals de rangschikking van schilderijen door juryleden?

  1. APearsons r
  2. BOnafhankelijke t-toets
  3. CChikwadraat
  4. DSpearmans rho
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een deelnemer krijgt een medicijn of een suikerpil maar weet niet welke, terwijl de onderzoeker het wel weet. Welk design is dit en welke bias blijft mogelijk?

  1. ADubbelblind; geen enkele bias is mogelijk
  2. BEnkelblind; vraagkenmerken zijn onmogelijk
  3. COpen trial; placebo-effecten worden volledig gecontroleerd
  4. DEnkelblind; proefleiderbias is nog steeds mogelijk
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
253035404550

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 53, 44, 50, 23, 44.

n = 6
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 160?

μ = 170σ = 20x = 160
P =
5.KansrekeningGemiddeld
xp(x)00,0510,320,0530,3540,25μ = 2,45

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,05, 0,35, 0,25
σ =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 8, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k012345678

Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,3. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 8p = 0,3
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
174,85192,35P = ?

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 174,85 en 192,35 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 192,35
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
μ = 500x = ?5%

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 30, s = 17LUx̄ = 109E = ?99%

Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 109 en standaardafwijking s = 17. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 30x̄ = 109s = 1799%t(29) = 2,756
E =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
n = 16Lσ = ?s = 11,295%

De diameters van 16 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,2 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 15 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 6,262 en 2,5% boven 27,488.

n = 16s = 11,2 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
−2,0932,093t = ?df = 19

20 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −1,49 en de standaardafwijking van de verschillen is 1,9. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.

n = 20d̄ = −1,49sd = 1,9
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 10E = 290%
n =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy123221318417514612xy2461520

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 21Σy = 105Σx² = 91Σy² = 1923Σxy = 329
r =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy2641261381710221228xy510102030x = 9

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.

n = 6x = 9
ŷ =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
geen defectkleingrootTotaaldagdienst41321285nachtdienst372945111Totaal786157196

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “dagdienst, geen defect”.

rijtotaal = 85kolomtotaal = 78N = 196
E =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 6 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 6
df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Spearmans rho

Waarom dit het antwoord is

Spearmans rangcorrelatie meet de sterkte van een monotoon verband tussen twee gerangschikte of ordinale variabelen.

Antwoord

D · Spearmans rho
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Enkelblind; proefleiderbias is nog steeds mogelijk

Waarom dit het antwoord is

In een enkelblind design kennen deelnemers hun conditie niet, wat placeboverwachtingen controleert. De kennis van de onderzoeker kan de resultaten nog beïnvloeden, daarom gaat de voorkeur uit naar dubbelblinde designs.

Antwoord

D · Enkelblind; proefleiderbias is nog steeds mogelijk
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,68

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 252/6 = 42

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−4)² + 11² + 2² + 8² + (−19)² + 2² = 570

Standaardafwijking

s = √(570/5) = 10,68

Antwoord

s = 10,68
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,3085

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = −0,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Antwoord

P = 0,3085
5.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,284

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,25 = 2,45

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,25 = 7,65

Variantie

Var(X) = 7,65 − 2,45² = 1,648
σ = √1,648 = 1,284

Antwoord

σ = 1,284
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2553

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,78 = 0,05765
P(X = 1) = 8·0,3·0,77 = 0,1977

Tel ze op

P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553

Antwoord

P = 0,2553
7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6535

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2,05) − Φ(−0,45) = 0,9798 − 0,3264 = 0,6535

Antwoord

P = 0,6535
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 434,2 h

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Terug naar x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Antwoord

x = 434,2 h
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 8,554

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Foutmarge

E = 2,756·17/√30 = 8,554

Antwoord

E = 8,554
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 17,33 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 15·11,2² = 1882

Grenzen voor σ²

1882/27,488 = 68,45
1882/6,262 = 300,5

Grens voor σ

σ = √300,5 = 17,33 µm

Antwoord

σ = 17,33 µm

95%-interval voor σ: [8,274, 17,33] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,507

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 1,9/√20 = 0,4249

Toetsingsgrootheid

t = −1,49/0,4249 = −3,507

Antwoord

t = −3,507

Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 68

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·10/2)² = 67,65

Naar boven afronden

n = 68

Antwoord

n = 68
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9953

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

Sxy = 329 − 21·105/6 = −38,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1923 − 105²/6 = 85,5

Correlatiecoëfficiënt

r = −38,5/√(17,5·85,5) = −0,9953

Antwoord

r = −0,9953
14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 20,45

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 98/6 = 16,33

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

Regressielijn

b = 144/70 = 2,057
a = 16,33 − 2,057·7 = 1,933
ŷ = 1,933 + 2,057·x

Voorspelling

ŷ = 1,933 + 2,057·9 = 20,45

Antwoord

ŷ = 20,45
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 33,83

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 85·78/196 = 33,83

Antwoord

E = 33,83
16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 4

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 − 1 = 4

Antwoord

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology