Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een test is zo makkelijk dat bijna alle deelnemers dicht bij het maximum scoren. Dit heet:

  1. AEen oefeneffect
  2. BEen volgorde-effect
  3. CEen plafondeffect
  4. DEen vloereffect
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker verzamelt data op negen momenten en toetst elke keer op het 5%-niveau zonder correctie. Wat is het probleem?

  1. ADe kans op minstens één vals positief stijgt ver boven 5%
  2. BEr is geen probleem met deze aanpak
  3. CDe data worden elke keer betrouwbaarder, dus de laatste toets is de nauwkeurigste
  4. DDe effectgrootte daalt bij elke toets
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
1520253035404550

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 11, 47, 45, 54.

n = 5
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 78?

μ = 70σ = 20x = 78
P =
5.KansrekeningGemiddeld
n = 8k = 5N = ?

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 5
N =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 8, p = 0,1: P(X ≤ 1) = ?k012345678

Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 8p = 0,1
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
171179,4P = ?

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 171 en 179,4 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 179,4
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
10 cm0X − Y?

De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 21, s = 18LU = ?x̄ = 65E95%

Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 65 en standaardafwijking s = 18. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 21x̄ = 65s = 1895%t(20) = 2,086
bovengrens =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
p ≈ 0,1, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0190%

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,1 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,01 heeft?

p ≈ 0,1E = 0,0190%
n =
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
t −1,99801,998

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 196,9 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,9s = 8n = 64
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
z −2,57602,576

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 206,2. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 206,2σ = 15n = 4999%
U =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy133341545754965xy5405060

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5
r² =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy123221321418513612xy2461520x = 4,5

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4,5.

n = 6x = 4,5
ŷ =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
hoestgeen hoestTotaalrokers32840niet-rokers283260Totaal6040100

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1002 × 2
χ² =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
geslaagdgezaktTotaalfabriek A233760fabriek B182240fabriek C671380Totaal10872180dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 1803 × 2α = 0,05
χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Een plafondeffect

Waarom dit het antwoord is

Plafondeffecten verbergen verschillen tussen condities omdat niemand hoger kan scoren. Vloereffecten zijn het omgekeerde, als een taak te moeilijk is.

Antwoord

C · Een plafondeffect
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · De kans op minstens één vals positief stijgt ver boven 5%

Waarom dit het antwoord is

Bij negen onafhankelijke toetsen is de kans op minstens één type I-fout ongeveer 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Correcties zoals Bonferroni pakken dit aan.

Antwoord

A · De kans op minstens één vals positief stijgt ver boven 5%
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 19,87

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 172/5 = 34,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−19,4)² + (−23,4)² + 12,6² + 10,6² + 19,6² = 1579

Standaardafwijking

s = √(1579/4) = 19,87

Antwoord

s = 19,87
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,6554

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Antwoord

P = 0,6554
5.Kansrekening

Antwoord: N = 56

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Antwoord

N = 56
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,8131

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,98 = 0,4305
P(X = 1) = 8·0,1·0,97 = 0,3826

Tel ze op

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Antwoord

P = 0,8131
7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4206

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,2) − Φ(−1) = 0,5793 − 0,1587 = 0,4206

Antwoord

P = 0,4206
8.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7389

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaardiseren

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Antwoord

P = 0,7389
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 73,19

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Foutmarge

E = 2,086·18/√21 = 8,194

Interval

65 ± 8,194 → [56,81, 73,19]

Antwoord

bovengrens = 73,19
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2436

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,1·0,9/0,01² = 2435

Naar boven afronden

n = 2436

Antwoord

n = 2436
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,1

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Toetsingsgrootheid

t = (196,9 − 200)/1 = −3,1

Antwoord

t = −3,1
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 211,7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·15/√49 = 5,52

Intervalgrens

U = 206,2 + 5,52 = 211,7

Antwoord

U = 211,7
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9764

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 238/5 = 47,6

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Syy = Σ(y − ȳ)² = 607,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = 154²/(40·607,2) = 0,9764

Antwoord

r² = 0,9764

Ongeveer 97,64% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 15,66

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

Regressielijn

b = −41/17,5 = −2,343
a = 18 − (−2,343)·3,5 = 26,2
ŷ = 26,2 − 2,343·x

Voorspelling

ŷ = 26,2 + (−2,343)·4,5 = 15,66

Antwoord

ŷ = 15,66
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 11,11

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

rokers: 40·60/100 = 24, 40·40/100 = 16
niet-rokers: 60·60/100 = 36, 60·40/100 = 24

Chikwadraatgrootheid

χ² = (32 − 24)²/24 + (8 − 16)²/16 + (28 − 36)²/36 + (32 − 24)²/24
χ² = 11,11

Antwoord

χ² = 11,11

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 34,29

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

fabriek A: 36, 24
fabriek B: 24, 16
fabriek C: 48, 32

Chikwadraatgrootheid

χ² = (23 − 36)²/36 + (37 − 24)²/24 + (18 − 24)²/24 + (22 − 16)²/16 + (67 − 48)²/48 + (13 − 32)²/32
χ² = 34,29

Beslissing

df = 2, χ²crit = 5,991
34,29 > 5,991

Antwoord

χ² = 34,29

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology