Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

In een rechtsscheve (positief scheve) verdeling, zoals inkomen:

  1. AIs het gemiddelde kleiner dan de mediaan
  2. BIs het gemiddelde groter dan de mediaan
  3. CZijn het gemiddelde en de mediaan altijd gelijk
  4. DZijn er geen extreme scores
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker vindt dat ijsverkoop en verdrinkingsdoden positief correleren. Welke verklaring is het meest plausibel?

  1. AVerdrinking verhoogt de ijsverkoop
  2. BIJs eten veroorzaakt verdrinking
  3. CDe correlatie moet een rekenfout zijn
  4. DWarm weer verhoogt zowel de ijsverkoop als het zwemmen
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
2025303540455055

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 18, 31, 56, 30, 52, 38, 29.

n = 7
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 64,8?

μ = 60σ = 12x = 64,8
P =
5.KansrekeningGemiddeld
n = 8k = 4N = ?

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 4
N =
6.KansrekeningMoeilijk
xp(x)00,310,220,1530,35μ

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 20. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,35Y = 3X + 20
σY =
7.Normale verdelingGemiddeld
2942,8P = ?

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 29 en 42,8 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 42,8
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
35455565758595puntenboven 5%

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 5% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten5%
x = punten
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 30, s = 3LU = ?x̄ = 115,5E99%

Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 115,5 en standaardafwijking s = 3. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 30x̄ = 115,5s = 399%t(29) = 2,756
bovengrens =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
μ₁ − μ₂, t(24) = 2,7970LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 13 proefvelden, gemiddelde opbrengst 57,5 kg, standaardafwijking 4 kg. Groep 2: 13 proefvelden, gemiddelde 69 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 57,5s₁ = 4n₂ = 13x̄₂ = 69s₂ = 4,599%t(24) = 2,797
bovengrens = kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
t −1,98401,984

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 49,3 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 49,3s = 5n = 100
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 10E = 399%
n =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy125223322419517617xy2462025

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6
r² =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy264136168241032xy510102030x = 3

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3, 11) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3, 11)
e =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
laagmiddelhoogTotaalstedelijk204040100landelijk134859120Totaal338899220

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2202 × 3
χ² =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 4 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Is het gemiddelde groter dan de mediaan

Waarom dit het antwoord is

Een paar zeer hoge waarden in de rechterstaart tillen het gemiddelde boven de mediaan, daarom wordt bij scheve data vaak de mediaan gerapporteerd.

Antwoord

B · Is het gemiddelde groter dan de mediaan
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Warm weer verhoogt zowel de ijsverkoop als het zwemmen

Waarom dit het antwoord is

Een derde variabele, de temperatuur, veroorzaakt beide. Dit illustreert waarom correlatie alleen geen causaliteit kan aantonen.

Antwoord

D · Warm weer verhoogt zowel de ijsverkoop als het zwemmen
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 13,5

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 254/7 = 36,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−18,29)² + (−5,286)² + 19,71² + (−6,286)² + 15,71² + 1,714² + (−7,286)² = 1093

Standaardafwijking

s = √(1093/6) = 13,5

Antwoord

s = 13,5
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,6554

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Antwoord

P = 0,6554
5.Kansrekening

Antwoord: N = 70

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Antwoord

N = 70
6.Kansrekening

Antwoord: σY = 3,732

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 1,55, Var(X) = 1,548, σX = 1,244

Lineaire transformatie

σY = |3|·1,244 = 3,732

Antwoord

σY = 3,732

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·1,55 + 20 = 24,65.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6555

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,8) − Φ(−0,5) = 0,9641 − 0,3085 = 0,6555

Antwoord

P = 0,6555
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 81,4 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,95

z uit de tabel

z ≈ 1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 punten

Antwoord

x = 81,4 punten
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 117

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Foutmarge

E = 2,756·3/√30 = 1,51

Interval

115,5 ± 1,51 → [114, 117]

Antwoord

bovengrens = 117
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −6,829 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

sp² = (12·4² + 12·4,5²)/24 = 18,13
sp = 4,257

Foutmarge

E = 2,797·4,257·√(1/13 + 1/13) = 4,671

Interval

−11,5 ± 4,671 → [−16,17, −6,829]

Antwoord

bovengrens = −6,829 kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Toetsingsgrootheid

t = (49,3 − 50)/0,5 = −1,4

Antwoord

t = −1,4
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 74

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·10/3)² = 73,73

Naar boven afronden

n = 74

Antwoord

n = 74
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9578

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 123/6 = 20,5

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 55,5

Determinatiecoëfficiënt

r² = −30,5²/(17,5·55,5) = 0,9578

Antwoord

r² = 0,9578

Ongeveer 95,78% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,25

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 91/5 = 18,2

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Regressielijn

b = 126/40 = 3,15
a = 18,2 − 3,15·6 = −0,7
ŷ = −0,7 + 3,15·x

Voorspelde waarde

ŷ = −0,7 + 3,15·3 = 8,75

Residu

e = 11 − 8,75 = 2,25

Antwoord

e = 2,25

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 4,074

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

stedelijk: 100·33/220 = 15, 100·88/220 = 40, 100·99/220 = 45
landelijk: 120·33/220 = 18, 120·88/220 = 48, 120·99/220 = 54

Chikwadraatgrootheid

χ² = (20 − 15)²/15 + (40 − 40)²/40 + (40 − 45)²/45 + (13 − 18)²/18 + (48 − 48)²/48 + (59 − 54)²/54
χ² = 4,074

Antwoord

χ² = 4,074

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 5,991

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 4 − 1 − 1 = 2

Tabel

χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Antwoord

χ²crit = 5,991

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology