Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een nieuwe depressievragenlijst voorspelt welke studenten het komende jaar behandeling zullen zoeken. Dit ondersteunt welk type validiteit?

  1. AIndruksvaliditeit (face validity)
  2. BPredictieve validiteit
  3. CConcurrente validiteit
  4. DInhoudsvaliditeit
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoek vindt een correlatie van r = 0,05 tussen lengte en IQ bij alleen professionele basketballers, terwijl die in de algemene bevolking hoger is. Wat verklaart de zwakke correlatie het best?

  1. AEen plafondeffect in IQ-tests
  2. BVraagkenmerken
  3. CRegressie naar het gemiddelde
  4. DBeperking van de spreiding (restriction of range)
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
25303540

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 36, 22, 24, 40, 43.

n = 6
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 54?

μ = 50σ = 10x = 54
P =
5.KansrekeningGemiddeld
rood: 7blauw: 5

Een zak bevat 7 rode en 5 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

7 / 5
P =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 6, p = 0,7: P(X ≤ 1) = ?k0123456

Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,7. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 6p = 0,7
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
244254P = ?

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 244 en 254 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 254
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
μ = 32x = ?80%

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 9, s = 11LUx̄ = 32E = ?95%

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 32 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 32s = 1195%t(8) = 2,306
E =
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

De standaardafwijking van de populatie is 14. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 14E = 395%
n =
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
t −2,06402,064

Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 78,4 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,4s = 10n = 25
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,05βσ = 17, onderscheidend vermogen 80%, n = ?

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 17. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 4σ = 17zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy12122031441551165xy2465101520

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 21Σy = 86Σx² = 91Σy² = 1408Σxy = 248
r =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy1558176519862190239925115xy1520256080100120x = 24

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 24.

n = 6x = 24
ŷ =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
laagmiddelhoogTotaalstedelijk20183169landelijk2630965Totaal464840134

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “landelijk, hoog”.

rijtotaal = 65kolomtotaal = 40N = 134
E =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 6 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Predictieve validiteit

Waarom dit het antwoord is

Predictieve validiteit blijkt als scores een later criterium voorspellen. Concurrente validiteit gebruikt een criterium dat op hetzelfde moment wordt gemeten.

Antwoord

B · Predictieve validiteit
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Beperking van de spreiding (restriction of range)

Waarom dit het antwoord is

Als een steekproef maar een smal bereik van een variabele beslaat, worden correlaties met die variabele kleiner. Basketballers zijn allemaal lang, dus lengte varieert weinig.

Antwoord

D · Beperking van de spreiding (restriction of range)
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 8,641

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 194/6 = 32,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−3,333)² + 3,667² + (−10,33)² + (−8,333)² + 7,667² + 10,67² = 373,3

Standaardafwijking

s = √(373,3/5) = 8,641

Antwoord

s = 8,641
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,3446

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Antwoord

P = 0,3446
5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3182

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Antwoord

P = 0,3182
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,01094

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,36 = 0,000729
P(X = 1) = 6·0,7·0,35 = 0,01021

Tel ze op

P = 0,000729 + 0,01021 = 0,01094

Antwoord

P = 0,01094
7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,6731

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731

Antwoord

P = 0,6731
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 37,05 min

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Antwoord

x = 37,05 min
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 8,455

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Foutmarge

E = 2,306·11/√9 = 8,455

Antwoord

E = 8,455
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 84

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·14/3)² = 83,66

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 84

Antwoord

n = 84
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Toetsingsgrootheid

t = (78,4 − 75)/2 = 1,7

Antwoord

t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 112

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·17/4)² = 111,7

Naar boven afronden

n = 112

Antwoord

n = 112
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9568

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

Sxy = 248 − 21·86/6 = −53
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1408 − 86²/6 = 175,3

Correlatiecoëfficiënt

r = −53/√(17,5·175,3) = −0,9568

Antwoord

r = −0,9568
14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 107,8

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 513/6 = 85,5

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 391

Regressielijn

b = 391/70 = 5,586
a = 85,5 − 5,586·20 = −26,21
ŷ = −26,21 + 5,586·x

Voorspelling

ŷ = −26,21 + 5,586·24 = 107,8

Antwoord

ŷ = 107,8
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 19,4

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 65·40/134 = 19,4

Antwoord

E = 19,4
16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 9,488

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 − 1 = 4

Tabel

χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Antwoord

χ²crit = 9,488

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology