Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Een type I-fout treedt op wanneer een onderzoeker:

  1. AEen onware nulhypothese niet verwerpt
  2. BEen nulhypothese verwerpt die in werkelijkheid waar is
  3. CTe veel data verzamelt
  4. DDe verkeerde statistische toets gebruikt
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoek vindt een correlatie van r = 0,05 tussen lengte en IQ bij alleen professionele basketballers, terwijl die in de algemene bevolking hoger is. Wat verklaart de zwakke correlatie het best?

  1. ARegressie naar het gemiddelde
  2. BEen plafondeffect in IQ-tests
  3. CVraagkenmerken
  4. DBeperking van de spreiding (restriction of range)
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
1015202530354045

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 10, 47, 15, 31, 35.

n = 5
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 67,5.

μ = 70σ = 5x = 67,5
z =
5.KansrekeningGemiddeld
n = 6k = 4N = ?

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 6? De volgorde doet er niet toe.

n = 6k = 4
N =
6.KansrekeningMoeilijk
€p(x)−100,65100,34900,05

Een spel kost €10 inzet. Je wint €20 met kans 0,3 en €500 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€20: p = 0,3€500: p = 0,05
E(G) = €
7.Normale verdelingGemiddeld
5570P = ?

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 55 en 70 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 70
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
μ = 32x = ?90%

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 9, sd​ = 6,80L = ?Ud̄ = −8,2E95%

De bloeddruk van 9 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −8,2 en standaardafwijking 6,8. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 9d̄ = −8,2sd = 6,895%t(8) = 2,306
ondergrens = mmHg
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 35, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

De standaardafwijking van de populatie is 35. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 35E = 1,590%
n =
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
−2,1792,179t = ?df = 12

13 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 4,18 en de standaardafwijking van de verschillen is 11,6. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.

n = 13d̄ = 4,18sd = 11,6
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
μ₀x̄c

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 50 tegen H₁: μ < 50 wordt uitgevoerd bij α = 0.10 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 15. In werkelijkheid is het gemiddelde 46. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 50μ = 46σ = 15n = 36α = 0,10
1 − β = %
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy1202173184115867xy246101520

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 21Σy = 81Σx² = 91Σy² = 1247Σxy = 234
r =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy122220317417514612xy2461520x = 5,5

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (5,5, 18) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 18)
e =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
hoestgeen hoestTotaalrokers2575100niet-rokers233760Totaal48112160

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1602 × 2
χ² =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
janeeTotaallijn 1402060lijn 235540lijn 37525100Totaal15050200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,01 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2003 × 2α = 0,01
χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Een nulhypothese verwerpt die in werkelijkheid waar is

Waarom dit het antwoord is

Een type I-fout claimt een effect dat niet bestaat. De kans erop is gelijk aan het significantieniveau (vaak 0,05). Een type II-fout mist een echt effect.

Antwoord

B · Een nulhypothese verwerpt die in werkelijkheid waar is
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Beperking van de spreiding (restriction of range)

Waarom dit het antwoord is

Als een steekproef maar een smal bereik van een variabele beslaat, worden correlaties met die variabele kleiner. Basketballers zijn allemaal lang, dus lengte varieert weinig.

Antwoord

D · Beperking van de spreiding (restriction of range)
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,09

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 138/5 = 27,6

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−17,6)² + 19,4² + (−12,6)² + 3,4² + 7,4² = 911,2

Standaardafwijking

s = √(911,2/4) = 15,09

Antwoord

s = 15,09
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,5

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = (67,5 − 70)/5 = −0,5

Antwoord

z = −0,5
5.Kansrekening

Antwoord: N = 15

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Antwoord

N = 15
6.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 21 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 10 (p = 0,3), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

Verwachtingswaarde

E(G) = 10·0,3 + 490·0,05 − 10·0,65 = 21 €

Antwoord

E(G) = 21 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,5328

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,5) − Φ(−1) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328

Antwoord

P = 0,5328
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 39,69 min

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Antwoord

x = 39,69 min
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −13,43 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 8, t = 2,306

Foutmarge

E = 2,306·6,8/√9 = 5,227

Interval

−8,2 ± 5,227 → [−13,43, −2,973]

Antwoord

ondergrens = −13,43 mmHg
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1474

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,645·35/1,5)² = 1473

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1474

Antwoord

n = 1474
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,299

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 11,6/√13 = 3,217

Toetsingsgrootheid

t = 4,18/3,217 = 1,299

Antwoord

t = 1,299

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 62,48 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 50 − 1,282·2,5 = 46,8

z onder het ware gemiddelde

z = (46,8 − 46)/2,5 = 0,318

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z < 0.318) = 62.48%
1 − β = 62,48%

Antwoord

1 − β = 62,48%
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9551

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

Sxy = 234 − 21·81/6 = −49,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1247 − 81²/6 = 153,5

Correlatiecoëfficiënt

r = −49,5/√(17,5·153,5) = −0,9551

Antwoord

r = −0,9551
14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 4,886

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 102/6 = 17

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Regressielijn

b = −34/17,5 = −1,943
a = 17 − (−1,943)·3,5 = 23,8
ŷ = 23,8 − 1,943·x

Voorspelde waarde

ŷ = 23,8 + (−1,943)·5,5 = 13,11

Residu

e = 18 − 13,11 = 4,886

Antwoord

e = 4,886

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 3,175

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

rokers: 100·48/160 = 30, 100·112/160 = 70
niet-rokers: 60·48/160 = 18, 60·112/160 = 42

Chikwadraatgrootheid

χ² = (25 − 30)²/30 + (75 − 70)²/70 + (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42
χ² = 3,175

Antwoord

χ² = 3,175

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 5,556

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

lijn 1: 45, 15
lijn 2: 30, 10
lijn 3: 75, 25

Chikwadraatgrootheid

χ² = (40 − 45)²/45 + (20 − 15)²/15 + (35 − 30)²/30 + (5 − 10)²/10 + (75 − 75)²/75 + (25 − 25)²/25
χ² = 5,556

Beslissing

df = 2, χ²crit = 9,210
5,556 < 9,210

Antwoord

χ² = 5,556

χ² ligt onder de kritieke waarde, dus H₀ wordt niet verworpen: er is geen significant bewijs voor een verband.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology