Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Split-halfbetrouwbaarheid houdt in:

ATwee observatoren elk de helft van de sessies laten doen
BTwee helften van de steekproef op verschillende momenten testen
CDe steekproef splitsen in een experimentele en een controlegroep en hun scores vergelijken
DScores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoek vindt een correlatie van r = 0,05 tussen lengte en IQ bij alleen professionele basketballers, terwijl die in de algemene bevolking hoger is. Wat verklaart de zwakke correlatie het best?

AVraagkenmerken
BEen plafondeffect in IQ-tests
CBeperking van de spreiding (restriction of range)
DRegressie naar het gemiddelde

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 31, 41, 11, 46, 60.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 72.

μ = 60σ = 8x = 72

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 15? De volgorde doet er niet toe.

n = 15k = 3

N =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 6p = 0,5k = 5

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 55,5 en 83 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 55,5x₂ = 83

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 5% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 7,3. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?

90%n₁ = 100E₁ = 7,395%

E₂ =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 24. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 24E = 290%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

20 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 1,34 en de standaardafwijking van de verschillen is 4. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = 1,34s_d = 4

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ > 80 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 9. In werkelijkheid is het gemiddelde 86. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 80μ = 86σ = 9n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1602 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 6 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 6

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

Waarom dit het antwoord is

Als beide helften hetzelfde construct meten, moeten de scores erop sterk correleren. Cronbachs alfa breidt dit idee uit naar alle mogelijke splitsingen.

Antwoord

D · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Beperking van de spreiding (restriction of range)

Waarom dit het antwoord is

Als een steekproef maar een smal bereik van een variabele beslaat, worden correlaties met die variabele kleiner. Basketballers zijn allemaal lang, dus lengte varieert weinig.

Antwoord

C · Beperking van de spreiding (restriction of range)

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,48

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 242/6 = 40,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 12,67² + (−9,333)² + 0,6667² + (−29,33)² + 5,667² + 19,67² = 1527

Standaardafwijking

s = √(1527/5) = 17,48

Antwoord

s = 17,48

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,5

Standaardiseren

z = (72 − 60)/8 = 1,5

Antwoord

z = 1,5

5.Kansrekening

Antwoord: N = 455

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Antwoord

N = 455

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,09375

Binomiale formule

P(X = 5) = 6·0,5⁵·0,5¹ = 6·0,03125·0,5 = 0,09375

Antwoord

P = 0,09375

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,793

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95

z₂ = (83 − 65)/10 = 1,8

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,8) − Φ(−0,95) = 0,9641 − 0,1711 = 0,793

Antwoord

P = 0,793

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 189,5 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,95

z uit de tabel

z ≈ 1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm

Antwoord

x = 189,5 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 8,698

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/100) = 1,191

Nieuwe marge

E₂ = 7,3·1,191 = 8,698

Antwoord

E₂ = 8,698

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 390

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,645·24/2)² = 389,7

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 390

Antwoord

n = 390

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,498

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 4/√20 = 0,8944

Toetsingsgrootheid

t = 1,34/0,8944 = 1,498

Antwoord

t = 1,498

Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 95,29 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 9/√36 = 1,5

x̄_c = 80 + 2,326·1,5 = 83,49

z onder het ware gemiddelde

z = (83,49 − 86)/1,5 = −1,674

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z > −1,674) = 95,29%

1 − β = 95,29%

Antwoord

1 − β = 95,29%

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,8988

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 139/6 = 23,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 114,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = −42,5²/(17,5·114,8) = 0,8988

Antwoord

r² = 0,8988

Ongeveer 89,88% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 16,05

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 85/5 = 17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Regressielijn

b = −19/10 = −1,9

a = 17 − (−1,9)·3 = 22,7

ŷ = 22,7 − 1,9·x

Voorspelling

ŷ = 22,7 + (−1,9)·3,5 = 16,05

Antwoord

ŷ = 16,05

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 4,571

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

rokers: 60·112/160 = 42, 60·48/160 = 18

niet-rokers: 100·112/160 = 70, 100·48/160 = 30

Chikwadraatgrootheid

χ² = (36 − 42)²/42 + (24 − 18)²/18 + (76 − 70)²/70 + (24 − 30)²/30

χ² = 4,571

Antwoord

χ² = 4,571

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 4

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 − 1 = 4

Antwoord

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology