Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welke toets is geschikt om de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen met ongeveer normaal verdeelde intervaldata te vergelijken?

At-toets voor onafhankelijke steekproeven
BPearson-correlatie
CWilcoxon-rangtekentoets
DChikwadraattoets

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoek met 10 deelnemers vindt een groot maar niet-significant effect. Wat is de meest gepaste conclusie?

AHet onderzoek had mogelijk te weinig power, dus het resultaat is niet doorslaggevend
BHet onderzoek bewijst dat de nulhypothese waar is, omdat het effect niet significant was
CHet effect moet een type I-fout zijn
DDe effectgrootte moet verkeerd berekend zijn

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 16, 26, 20, 20, 58.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 86?

μ = 70σ = 8x = 86

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 5 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 5

P =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 6p = 0,1k = 3

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,3015 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,3015

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 95% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm95%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 103,5 en standaardafwijking s = 17. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 16x̄ = 103,5s = 1799%t(15) = 2,947

E =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 38. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 38E = 299%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 50 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 126 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 12 mm. Lijn 2: een steekproef van 60 onderdelen heeft gemiddelde 123,5 mm, bekende standaardafwijking 9 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 50x̄₁ = 126 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 60x̄₂ = 123,5 mmσ₂ = 9 mm

z =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80 wordt uitgevoerd bij α = 0.01 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 24. In werkelijkheid is het gemiddelde 71.9. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 80μ = 71,9σ = 24n = 64α = 0,01

β = %

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 46) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 46)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 2002 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 5 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 5

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · t-toets voor onafhankelijke steekproeven

Waarom dit het antwoord is

De t-toets voor onafhankelijke steekproeven vergelijkt twee groepsgemiddelden. Chikwadraat is voor frequenties; Wilcoxon voor gepaarde steekproeven met non-parametrische data.

Antwoord

A · t-toets voor onafhankelijke steekproeven

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Het onderzoek had mogelijk te weinig power, dus het resultaat is niet doorslaggevend

Waarom dit het antwoord is

Bij kleine steekproeven halen zelfs echte effecten vaak geen significantie (type II-fout). Onderzoekers moeten de effectgrootte en het betrouwbaarheidsinterval rapporteren en het onderzoek met een grotere steekproef repliceren.

Antwoord

A · Het onderzoek had mogelijk te weinig power, dus het resultaat is niet doorslaggevend

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,15

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 140/5 = 28

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−12)² + (−2)² + (−8)² + (−8)² + 30² = 1176

Standaardafwijking

s = √(1176/4) = 17,15

Antwoord

s = 17,15

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9772

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Antwoord

P = 0,9772

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,5981

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Antwoord

P = 0,5981

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,01458

Binomiale formule

P(X = 3) = 20·0,1³·0,9³ = 20·0,001·0,729 = 0,01458

Antwoord

P = 0,01458

7.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,52

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,3015 = 0,6985

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6985 in de tabel en lees z af.

z = 0,52

Antwoord

z = 0,52

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 166,5 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,05

z uit de tabel

z ≈ −1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm

Antwoord

x = 166,5 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 12,52

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Foutmarge

E = 2,947·17/√16 = 12,52

Antwoord

E = 12,52

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2396

n oplossen

n = (2,576·38/2)² = 2396

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 2396

Antwoord

n = 2396

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 1,216

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(12²/50 + 9²/60) = √4,23 = 2,057

Toetsingsgrootheid

z = (126 − 123,5)/2,057 = 1,216

Antwoord

z = 1,216

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 35,42 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 80 − 2,326·3 = 73,02

z onder het ware gemiddelde

z = (73,02 − 71,9)/3 = 0,374

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 0.374) = 64.58%

β = 100% − 64,58% = 35,42%

Antwoord

β = 35,42%

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,8357

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 179/5 = 35,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 96,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 26/√(10·96,8) = 0,8357

Antwoord

r = 0,8357

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,614

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 321/6 = 53,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88,5

Regressielijn

b = 88,5/17,5 = 5,057

a = 53,5 − 5,057·3,5 = 35,8

ŷ = 35,8 + 5,057·x

Voorspelde waarde

ŷ = 35,8 + 5,057·1,5 = 43,39

Residu

e = 46 − 43,39 = 2,614

Antwoord

e = 2,614

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 20,6

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

nieuw geneesmiddel: 120·70/200 = 42, 120·130/200 = 78

placebo: 80·70/200 = 28, 80·130/200 = 52

Chikwadraatgrootheid

χ² = (27 − 42)²/42 + (93 − 78)²/78 + (43 − 28)²/28 + (37 − 52)²/52

χ² = 20,6

Antwoord

χ² = 20,6

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 3

Vrijheidsgraden

df = 5 − 1 − 1 = 3

Antwoord

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology