Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Split-halfbetrouwbaarheid houdt in:

AScores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren
BTwee observatoren elk de helft van de sessies laten doen
CTwee helften van de steekproef op verschillende momenten testen
DDe steekproef splitsen in een experimentele en een controlegroep en hun scores vergelijken

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker wil aantonen dat een nieuwe angstschaal iets anders meet dan depressie. Lage correlaties met een depressieschaal ondersteunen:

APredictieve validiteit
BIndruksvaliditeit (face validity)
CConvergente validiteit
DDiscriminante validiteit

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 33, 39, 20, 16, 36, 36.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 100.

μ = 70σ = 15x = 100

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35Y = 10X − 3

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,2420 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,2420

z =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 60% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 97,5 en standaardafwijking s = 2,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 97,5s = 2,599%t(8) = 3,355

bovengrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 31. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?

σ = 31E = 495%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 120 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 24. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 117,54. Toets H₀: μ = 120 tegen H₁: μ < 120. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 120σ = 24n = 64x̄ = 117,54H₁: μ < μ₀

p =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 20. In werkelijkheid is het gemiddelde 103. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 100μ = 103σ = 20n = 100α = 0,01

β = %

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (2,5, 57) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 57)

e =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1002 × 3

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 3 rijen en 6 kolommen (de totalen niet meegeteld). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²_crit bij significantieniveau α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

Waarom dit het antwoord is

Als beide helften hetzelfde construct meten, moeten de scores erop sterk correleren. Cronbachs alfa breidt dit idee uit naar alle mogelijke splitsingen.

Antwoord

A · Scores op twee helften van dezelfde test vergelijken om de interne consistentie te controleren

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: D · Discriminante validiteit

Waarom dit het antwoord is

Discriminante (divergente) validiteit blijkt als een meting zwak correleert met metingen van andere constructen. Convergente validiteit is een hoge correlatie met metingen van hetzelfde construct.

Antwoord

D · Discriminante validiteit

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,571

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 180/6 = 30

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 3² + 9² + (−10)² + (−14)² + 6² + 6² = 458

Standaardafwijking

s = √(458/5) = 9,571

Antwoord

s = 9,571

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 2

Standaardiseren

z = (100 − 70)/15 = 2

Antwoord

z = 2

5.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,7

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variantie

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Antwoord

Var(X) = 0,7

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 11,35

Spreiding van X

μ = 2,75, Var(X) = 1,287, σ_X = 1,135

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·1,135 = 11,35

Antwoord

σ_Y = 11,35

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·2,75 − 3 = 24,5.

7.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,7

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,2420 = 0,7580

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,7580 in de tabel en lees z af.

z = 0,70

Antwoord

z = 0,70

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 510 h

Oppervlak links

Φ(z) = 0,6

z uit de tabel

z ≈ 0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 + 0,25·40 = 510 h

Antwoord

x = 510 h

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 100,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Foutmarge

E = 3,355·2,5/√9 = 2,796

Interval

97,5 ± 2,796 → [94,7, 100,3]

Antwoord

bovengrens = 100,3

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 231

n oplossen

n = (1,96·31/4)² = 230,7

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 231

Antwoord

n = 231

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,2061

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (117,54 − 120)/3 = −0,82

Staartoppervlakte

Φ(0,82) = 0,7939

1 − Φ(0,82) = 0,2061

p-waarde

p = 0,2061

Antwoord

p = 0,2061

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 79,56 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 100 + 2,326·2 = 104,7

z onder het ware gemiddelde

z = (104,7 − 103)/2 = 0,826

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > 0,826) = 20,44%

β = 100% − 20,44% = 79,56%

Antwoord

β = 79,56%

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,986

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 129/6 = 21,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 225

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 733,5

Determinatiecoëfficiënt

r² = 225²/(70·733,5) = 0,986

Antwoord

r² = 0,986

Ongeveer 98,6% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 5,5

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 286/5 = 57,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

Regressielijn

b = 38/10 = 3,8

a = 57,2 − 3,8·4 = 42

ŷ = 42 + 3,8·x

Voorspelde waarde

ŷ = 42 + 3,8·2,5 = 51,5

Residu

e = 57 − 51,5 = 5,5

Antwoord

e = 5,5

Het punt ligt boven de lijn.

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 18,25

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

dagdienst: 60·50/100 = 30, 60·25/100 = 15, 60·25/100 = 15

nachtdienst: 40·50/100 = 20, 40·25/100 = 10, 40·25/100 = 10

Chikwadraatgrootheid

χ² = (23 − 30)²/30 + (13 − 15)²/15 + (24 − 15)²/15 + (27 − 20)²/20 + (12 − 10)²/10 + (1 − 10)²/10

χ² = 18,25

Antwoord

χ² = 18,25

df = 2. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 5,991, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²_crit = 18,31

Vrijheidsgraden

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Tabel

χ²_crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307

Antwoord

χ²_crit = 18,307

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology