Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welk soort data levert een open vraag in een interview op?

AAlleen nominale kwantitatieve data
BIntervaldata
CKwalitatieve data
DRatiodata

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een deelnemer krijgt een medicijn of een suikerpil maar weet niet welke, terwijl de onderzoeker het wel weet. Welk design is dit en welke bias blijft mogelijk?

ADubbelblind; geen enkele bias is mogelijk
BOpen trial; placebo-effecten worden volledig gecontroleerd
CEnkelblind; proefleiderbias is nog steeds mogelijk
DEnkelblind; vraagkenmerken zijn onmogelijk

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 33, 56, 12, 15, 40.

n = 5

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 50?

μ = 70σ = 10x = 50

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 3 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 3

P =

6.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,1, 0,1, 0,2Y = 3X − 3

σ_Y =

7.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 77,5 en 130,75 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 77,5x₂ = 130,75

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 50,5 en standaardafwijking s = 3. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 50,5s = 399%t(6) = 3,707

E =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 11 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 5,1 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 10 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 3,247 en 2,5% boven 20,483.

n = 11s = 5,1 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 101,2 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,2s = 5n = 81

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 36 metingen heeft gemiddelde 51,5. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 51,5σ = 5n = 3699%

U =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 36Σy = 399Σx² = 286Σy² = 27095Σxy = 2587

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “dagdienst, groot”.

rijtotaal = 96kolomtotaal = 53N = 194

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 1403 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Kwalitatieve data

Waarom dit het antwoord is

Open vragen leveren rijke kwalitatieve data op die moeilijker statistisch te analyseren zijn dan antwoorden op gesloten vragen.

Antwoord

C · Kwalitatieve data

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Enkelblind; proefleiderbias is nog steeds mogelijk

Waarom dit het antwoord is

In een enkelblind design kennen deelnemers hun conditie niet, wat placeboverwachtingen controleert. De kennis van de onderzoeker kan de resultaten nog beïnvloeden, daarom gaat de voorkeur uit naar dubbelblinde designs.

Antwoord

C · Enkelblind; proefleiderbias is nog steeds mogelijk

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,21

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 156/5 = 31,2

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1,8² + 24,8² + (−19,2)² + (−16,2)² + 8,8² = 1327

Standaardafwijking

s = √(1327/4) = 18,21

Antwoord

s = 18,21

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = −2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,4213

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Antwoord

P = 0,4213

6.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 4,49

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 1,6, Var(X) = 2,24, σ_X = 1,497

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·1,497 = 4,49

Antwoord

σ_Y = 4,49

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·1,6 − 3 = 1,8.

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,913

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (77,5 − 100)/15 = −1,5

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2,05) − Φ(−1,5) = 0,9798 − 0,06681 = 0,913

Antwoord

P = 0,913

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 593,1 h

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Terug naar x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Antwoord

x = 593,05 h

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 4,203

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Foutmarge

E = 3,707·3/√7 = 4,203

Antwoord

E = 4,203

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 8,95 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 10·5,1² = 260,1

Grenzen voor σ²

260,1/20,483 = 12,7

260,1/3,247 = 80,1

Grens voor σ

σ = √80,1 = 8,95 µm

Antwoord

σ = 8,95 µm

95%-interval voor σ: [3,563, 8,95] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,16

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Toetsingsgrootheid

t = (101,2 − 100)/0,5556 = 2,16

Antwoord

t = 2,16

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 53,65

Foutmarge

E = 2,576·5/√36 = 2,147

Intervalgrens

U = 51,5 + 2,147 = 53,65

Antwoord

U = 53,65

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9735

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 2587 − 36·399/6 = 193

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 27095 − 399²/6 = 561,5

Correlatiecoëfficiënt

r = 193/√(70·561,5) = 0,9735

Antwoord

r = 0,9735

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 23,65

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 121/6 = 20,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5

Regressielijn

b = −30,5/17,5 = −1,743

a = 20,17 − (−1,743)·3,5 = 26,27

ŷ = 26,27 − 1,743·x

Voorspelling

ŷ = 26,27 + (−1,743)·1,5 = 23,65

Antwoord

ŷ = 23,65

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 26,23

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 96·53/194 = 26,23

Antwoord

E = 26,23

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 5,208

Verwachte aantallen

lijn 1: 24, 16

lijn 2: 36, 24

lijn 3: 24, 16

Chikwadraatgrootheid

χ² = (19 − 24)²/24 + (21 − 16)²/16 + (36 − 36)²/36 + (24 − 24)²/24 + (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16

χ² = 5,208

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

5,208 < 5,991

Antwoord

χ² = 5,208

χ² ligt onder de kritieke waarde, dus H₀ wordt niet verworpen: er is geen significant bewijs voor een verband.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology