Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Welke statistiek is geschikt voor het verband tussen twee reeksen rangordes, zoals de rangschikking van schilderijen door juryleden?

AOnafhankelijke t-toets
BSpearmans rho
CPearsons r
DChikwadraat

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

In Milgrams gehoorzaamheidsstudies dachten deelnemers dat ze echte elektrische schokken toedienden. Welk ethisch probleem wordt hierdoor het meest direct opgeroepen, en hoe werd het deels aangepakt?

AGebrek aan een controlegroep, aangepakt door deelnemers aselect aan condities toe te wijzen
BMisleiding en mogelijke ontreddering, aangepakt met een grondige debriefing
CGebruik van kinderen, aangepakt met toestemming van ouders
DGebrek aan vertrouwelijkheid, aangepakt door namen te publiceren

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 40, 14, 34, 45, 10, 32, 50.

n = 7

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 176?

μ = 170σ = 10x = 176

P =

5.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 2 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 2

P =

6.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 8 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 8p = 0,6k = 5

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 167,15 en 185,35 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,15x₂ = 185,35

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 112 en standaardafwijking s = 15,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 112s = 15,595%t(6) = 2,447

ondergrens =

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 16 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,1 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 15 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 6,262 en 2,5% boven 27,488.

n = 16s = 1,1 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 47,52 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,52s = 8n = 100

t =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 73,6. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 73,6σ = 5n = 4999%

U =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 96Σx² = 220Σy² = 2222Σxy = 698

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.

N = 1602 × 2

χ² =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

De tabel toont waargenomen aantallen. Toets bij α = 0,05 of de twee variabelen onafhankelijk zijn (zonder continuïteitscorrectie). Bereken de toetsingsgrootheid χ² en vergelijk die daarna met de kritieke waarde uit de tabel.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Spearmans rho

Waarom dit het antwoord is

Spearmans rangcorrelatie meet de sterkte van een monotoon verband tussen twee gerangschikte of ordinale variabelen.

Antwoord

B · Spearmans rho

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Misleiding en mogelijke ontreddering, aangepakt met een grondige debriefing

Waarom dit het antwoord is

Deelnemers werden misleid over de schokken en velen toonden veel stress. Milgram gaf deelnemers een debriefing en liet hen de "leerling" ontmoeten; een vervolgonderzoek vond dat de meesten blij waren te hebben meegedaan, maar de ethiek blijft omstreden.

Antwoord

B · Misleiding en mogelijke ontreddering, aangepakt met een grondige debriefing

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,1

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 225/7 = 32,14

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 7,857² + (−18,14)² + 1,857² + 12,86² + (−22,14)² + (−0,1429)² + 17,86² = 1369

Standaardafwijking

s = √(1369/6) = 15,1

Antwoord

s = 15,1

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2743

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Antwoord

P = 0,2743

5.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3056

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Antwoord

P = 0,3056

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2787

Binomiale formule

P(X = 5) = 56·0,6⁵·0,4³ = 56·0,07776·0,064 = 0,2787

Antwoord

P = 0,2787

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7926

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55

z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,05) − Φ(−1,55) = 0,8531 − 0,06057 = 0,7926

Antwoord

P = 0,7926

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 466,3 h

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Antwoord

x = 466,34 h

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 97,66

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Foutmarge

E = 2,447·15,5/√7 = 14,34

Interval

112 ± 14,34 → [97,66, 126,3]

Antwoord

ondergrens = 97,66

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 1,702 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 15·1,1² = 18,15

Grenzen voor σ²

18,15/27,488 = 0,6603

18,15/6,262 = 2,898

Grens voor σ

σ = √2,898 = 1,702 µm

Antwoord

σ = 1,702 µm

95%-interval voor σ: [0,8126, 1,702] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,1

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Toetsingsgrootheid

t = (47,52 − 50)/0,8 = −3,1

Antwoord

t = −3,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 75,44

Foutmarge

E = 2,576·5/√49 = 1,84

Intervalgrens

U = 73,6 + 1,84 = 75,44

Antwoord

U = 75,44

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9911

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 698 − 30·96/5 = 122

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2222 − 96²/5 = 378,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 122/√(40·378,8) = 0,9911

Antwoord

r = 0,9911

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 70,7

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 323/5 = 64,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

Regressielijn

b = 244/40 = 6,1

a = 64,6 − 6,1·6 = 28

ŷ = 28 + 6,1·x

Voorspelling

ŷ = 28 + 6,1·7 = 70,7

Antwoord

ŷ = 70,7

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 9,495

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwachte aantallen

mannen: 100·104/160 = 65, 100·56/160 = 35

vrouwen: 60·104/160 = 39, 60·56/160 = 21

Chikwadraatgrootheid

χ² = (56 − 65)²/65 + (44 − 35)²/35 + (48 − 39)²/39 + (12 − 21)²/21

χ² = 9,495

Antwoord

χ² = 9,495

df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt verworpen.

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ² = 20,11

Verwachte aantallen

leeftijd 18–30: 36, 24

leeftijd 31–50: 36, 24

leeftijd 51+: 60, 40

Chikwadraatgrootheid

χ² = (42 − 36)²/36 + (18 − 24)²/24 + (46 − 36)²/36 + (14 − 24)²/24 + (44 − 60)²/60 + (56 − 40)²/40

χ² = 20,11

Beslissing

df = 2, χ²_crit = 5,991

20,11 > 5,991

Antwoord

χ² = 20,11

χ² ligt boven de kritieke waarde, dus H₀ wordt verworpen: de variabelen lijken samen te hangen.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology