Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid: χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing: verwerp H₀ als χ² > χ²_crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

In een rechtsscheve (positief scheve) verdeling, zoals inkomen:

AIs het gemiddelde groter dan de mediaan
BIs het gemiddelde kleiner dan de mediaan
CZijn het gemiddelde en de mediaan altijd gelijk
DZijn er geen extreme scores

2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Bij thematische analyse doet de analist vooral het volgende:

AAlleen woordfrequenties tellen
BEen numerieke hypothese toetsen
CTerugkerende betekenispatronen in kwalitatieve data identificeren
DDe gemiddelde score van elk thema berekenen om ze statistisch te vergelijken

3.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 13, 31, 10, 57, 44, 40.

n = 6

s =

4.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 44.

μ = 50σ = 5x = 44

z =

5.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35

σ =

6.KansrekeningMoeilijk

Er worden 11 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 11p = 0,1

P =

7.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 242,75 en 256,25 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,75x₂ = 256,25

P =

8.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 127 h, bekende standaardafwijking 16 h. Model 2: 80 telefoons, gemiddelde 124,5 h, bekende standaardafwijking 15 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 127 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 124,5 hσ₂ = 15 h95%

E = h

10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 14. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 14E = 399%

n =

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 100 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 47 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 20 mm. Lijn 2: een steekproef van 60 onderdelen heeft gemiddelde 44,9 mm, bekende standaardafwijking 13 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 100x̄₁ = 47 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 60x̄₂ = 44,9 mmσ₂ = 13 mm

z =

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 8. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 8E = 1,590%

n =

13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

15.ChikwadraattoetsenGemiddeld

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “stedelijk, laag”.

rijtotaal = 74kolomtotaal = 48N = 146

E =

16.ChikwadraattoetsenMoeilijk

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 5 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?

k = 5

df =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: A · Is het gemiddelde groter dan de mediaan

Waarom dit het antwoord is

Een paar zeer hoge waarden in de rechterstaart tillen het gemiddelde boven de mediaan, daarom wordt bij scheve data vaak de mediaan gerapporteerd.

Antwoord

A · Is het gemiddelde groter dan de mediaan

2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Terugkerende betekenispatronen in kwalitatieve data identificeren

Waarom dit het antwoord is

Thematische analyse omvat vertrouwd raken met de data, coderen, thema's vormen, herzien en benoemen en het verslag schrijven, met de nadruk op betekenis in plaats van statistiek.

Antwoord

C · Terugkerende betekenispatronen in kwalitatieve data identificeren

3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,32

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 195/6 = 32,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−19,5)² + (−1,5)² + (−22,5)² + 24,5² + 11,5² + 7,5² = 1678

Standaardafwijking

s = √(1678/5) = 18,32

Antwoord

s = 18,32

4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1,2

Standaardiseren

z = (44 − 50)/5 = −1,2

Antwoord

z = −1,2

5.Kansrekening

Antwoord: σ = 0,9434

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,9

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,5

Variantie

Var(X) = 4,5 − 1,9² = 0,89

σ = √0,89 = 0,9434

Antwoord

σ = 0,9434

6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,6974

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Tel ze op

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Antwoord

P = 0,6974

7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8208

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (242,75 − 250)/5 = −1,45

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,25) − Φ(−1,45) = 0,8944 − 0,07353 = 0,8208

Antwoord

P = 0,8208

8.Normale verdeling

Antwoord: x = 169 cm

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Terug naar x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Antwoord

x = 169,03 cm

9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 4,806 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 127 − 124,5 = 2,5

Standaardfout

SE = √(16²/80 + 15²/80) = 2,452

Foutmarge

E = 1,96·2,452 = 4,806

Antwoord

E = 4,806 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 145

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·14/3)² = 144,5

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 145

Antwoord

n = 145

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,8043

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(20²/100 + 13²/60) = √6,817 = 2,611

Toetsingsgrootheid

z = (47 − 44,9)/2,611 = 0,8043

Antwoord

z = 0,8043

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 77

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·8/1,5)² = 76,97

Naar boven afronden

n = 77

Antwoord

n = 77

13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9857

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 631/6 = 105,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 427

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2681

Correlatiecoëfficiënt

r = 427/√(70·2681) = 0,9857

Antwoord

r = 0,9857

14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 49,9

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 281/5 = 56,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Regressielijn

b = 42/10 = 4,2

a = 56,2 − 4,2·5 = 35,2

ŷ = 35,2 + 4,2·x

Voorspelling

ŷ = 35,2 + 4,2·3,5 = 49,9

Antwoord

ŷ = 49,9

15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 24,33

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 74·48/146 = 24,33

Antwoord

E = 24,33

16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: df = 3

Vrijheidsgraden

df = 5 − 1 − 1 = 3

Antwoord

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology