Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologie: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Onderzoeksmethoden in de psychologieGemiddeld

Deskundigen controleren of de items van een wiskundetentamen alle onderwerpen van de leerstof dekken. Dit beoordeelt:

  1. APredictieve validiteit
  2. BInhoudsvaliditeit
  3. CEcologische validiteit
  4. DTest-hertestbetrouwbaarheid
2.Onderzoeksmethoden in de psychologieMoeilijk

Een onderzoeker gebruikt een vragenlijst, interviews en observatie om werkstress te onderzoeken, en de bevindingen komen overeen. Hoe heet deze aanpak?

  1. AStratificatie
  2. BCounterbalancing
  3. CTriangulatie
  4. DReplicatie
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
101520253035

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 36, 10, 16, 36, 12.

n = 5
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 62?

μ = 50σ = 20x = 62
P =
5.KansrekeningGemiddeld
n = 15k = 4N = ?

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 15? De volgorde doet er niet toe.

n = 15k = 4
N =
6.KansrekeningMoeilijk
n = 12, p = 0,3: P(X = 4) = ?k0123456789101112

Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 12p = 0,3k = 4
P =
7.Normale verdelingGemiddeld
22,439,2P = ?

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 22,4 en 39,2 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x1 = 22,4x2 = 39,2
P =
8.Normale verdelingMoeilijk
235240245250255260265gboven 75%

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 75% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g75%
x = g
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
n = 16, sd​ = 7,90LU = ?d̄ = 7,8E99%

De bloeddruk van 16 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 7,8 en standaardafwijking 7,9. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 16d̄ = 7,8sd = 7,999%t(15) = 2,947
bovengrens = mmHg
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
n = 21σ = ?Us = 4,995%

De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4,9 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.

n = 21s = 4,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
t −1,9901,99

Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 195,1 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 195,1s = 20n = 81
t =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,599%

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 12. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 12E = 2,599%
n =
13.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy124220319418514613xy246152025

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6
r =
14.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy264136168171022xy5105101520ŷ = 13

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 13?

n = 5ŷ = 13
x =
15.ChikwadraattoetsenGemiddeld
geen defectkleingrootTotaaldagdienst45241382nachtdienst40292897Totaal855341179

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “dagdienst, groot”.

rijtotaal = 82kolomtotaal = 41N = 179
E =
16.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets vergelijkt waargenomen aantallen in 3 categorieën met volledig gespecificeerde verwachte verhoudingen (er worden geen parameters uit de data geschat). Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Oplossingen

1.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: B · Inhoudsvaliditeit

Waarom dit het antwoord is

Inhoudsvaliditeit is de mate waarin een meting alle relevante aspecten van het construct dekt, meestal beoordeeld door deskundigen.

Antwoord

B · Inhoudsvaliditeit
2.Onderzoeksmethoden in de psychologie

Antwoord: C · Triangulatie

Waarom dit het antwoord is

Triangulatie gebruikt meerdere methoden, bronnen of onderzoekers. Overeenstemming tussen hen vergroot het vertrouwen in de validiteit van de bevindingen.

Antwoord

C · Triangulatie
3.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,96

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 110/5 = 22

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 14² + (−12)² + (−6)² + 14² + (−10)² = 672

Standaardafwijking

s = √(672/4) = 12,96

Antwoord

s = 12,96
4.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2743

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Antwoord

P = 0,2743
5.Kansrekening

Antwoord: N = 1365

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

Antwoord

N = 1365
6.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2311

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 4) = 495·0,34·0,78 = 495·0,0081·0,05765 = 0,2311

Antwoord

P = 0,2311
7.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8301

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6
z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,2) − Φ(−1,6) = 0,8849 − 0,0548 = 0,8301

Antwoord

P = 0,8301
8.Normale verdeling

Antwoord: x = 246,7 g

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,25

z uit de tabel

z ≈ −0,67

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Antwoord

x = 246,7 g
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 13,62 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 15, t = 2,947

Foutmarge

E = 2,947·7,9/√16 = 5,82

Interval

7,8 ± 5,82 → [1,98, 13,62]

Antwoord

bovengrens = 13,62 mmHg
10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 3,749 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 20·4,9² = 480,2

Grenzen voor σ²

480,2/34,17 = 14,05
480,2/9,591 = 50,07

Grens voor σ

σ = √14,05 = 3,749 µm

Antwoord

σ = 3,749 µm

95%-interval voor σ: [3,749, 7,076] µm.

11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,205

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Toetsingsgrootheid

t = (195,1 − 200)/2,222 = −2,205

Antwoord

t = −2,205
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 153

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (2,576·12/2,5)² = 152,9

Naar boven afronden

n = 153

Antwoord

n = 153
13.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9767

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37
Syy = Σ(y − ȳ)² = 82

Correlatiecoëfficiënt

r = −37/√(17,5·82) = −0,9767

Antwoord

r = −0,9767
14.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 5

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 74/5 = 14,8

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

Regressielijn

b = 72/40 = 1,8
a = 14,8 − 1,8·6 = 4
ŷ = 4 + 1,8·x

Los op naar x

x = (13 − 4)/1,8 = 5

Antwoord

x = 5
15.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 18,78

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 82·41/179 = 18,78

Antwoord

E = 18,78
16.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 5,991

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 3 − 1 = 2

Tabel

χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Antwoord

χ²crit = 5,991

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology