Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (−4, −6, 3) en b = (−4, −4, −6), in graden.
a = (−4, −6, 3)b = (−4, −4, −6)
θ = °
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(−2, 3, −1), B(1, 4, 3) en C(1, −4, 2). Coördinaten zijn in meter.
A(−2, 3, −1)B(1, 4, 3)C(1, −4, 2)
A = m²
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 10 mP1 = 45 kN op 5 mP2 = 20 kN op 7 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 6 mP = 20 kN op 1 mw = 12 kN/m van 4 tot 5 m
RB = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 15 kN ↓D: 30 kN ↓F: 25 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 2,4 m uit elkaar, met de topscharnier C op 4,5 m hoogte en de horizontale trekstang DE 1,2 m boven de grond. Een verticale belasting van 8 kN werkt op poot AC in K, 0,9 m (horizontaal) van A. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.
P = 8 kNAB = 2,4 mhoogte van C = 4,5 mhoogte van DE = 1,2 mhorizontale afstand A tot K = 0,9 m
T = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 2 m uit elkaar, met de topscharnier C op 4 m hoogte en de horizontale trekstang DE 2 m boven de grond. Een verticale belasting van 12 kN werkt op poot AC in K, 0,25 m (horizontaal) van A. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.
P = 12 kNAB = 2 mhoogte van C = 4 mhoogte van DE = 2 mhorizontale afstand A tot K = 0,25 m
C = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m vanaf A. Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 3,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 5 mP = 80 kN op 4 mw = 10 kN/m van 0 tot 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 5 mw = 24 kN/m van 1 tot 5 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een ronde buis heeft buitendiameter D = 100 mm en binnendiameter d = 68 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.
D = 100 mmd = 68 mm
r = mm
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 35 MPa op trek en 100 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment Mallow dat de balk kan dragen (geef de grootte).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Inwendig product
a·b = (−4)·(−4) + (−6)·(−4) + 3·(−6) = 22
Groottes
|a| = √((−4)² + (−6)² + 3²) = 7,81
|b| = √((−4)² + (−4)² + (−6)²) = 8,246
Hoek
cos θ = 22/(7,81·8,246) = 0,3416
θ = arccos(0,3416) = 70,03°
Antwoord
θ = 70,03°
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: A = 19,66 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Zijdevectoren
AB = B − A = (3, 1, 4)
AC = C − A = (3, −7, 3)
Uitwendig product
(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 1·3 − 4·(−7) = 31
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 4·3 − 3·3 = 3
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 3·(−7) − 1·3 = −24
|AB × AC| = √(31² + 3² + (−24)²) = 39,32
Oppervlakte van de driehoek
A = ½·39,32 = 19,66 m²
Antwoord
A = 19,66 m²
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 28,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·10 = 45·5 + 20·7
RB = 365/10 = 36,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 36,5 = 28,5 kN
Antwoord
RA = 28,5 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 12,33 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 12·1·4,5
RB = 74/6 = 12,33 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 12,33 = 19,67 kN
Antwoord
RB = 12,33 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt G
FG en GH liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Heel raamwerk: momenten om A
By = 8·0,9/2,4 = 3 kN
Poot BC: momenten om C
3·1,2 = T·3,3
T = 1,091 kN
Antwoord
T = 1,091 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: C = 1,677 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Oplegreactie in B
By = 12·0,25/2 = 1,5 kN
Trekstangkracht
T = 1,5·1/2 = 0,75 kN
Pennenkracht op BC
Cx = 0,75 kN, Cy = −1,5 kN
C = √(0,75² + 1,5²) = 1,677 kN
Antwoord
C = 1,677 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = −51,25 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Houd het deel met het vrije uiteinde over
P: −80·0,5 = −40 kN·m
w: −10·1,5²/2 = −11,25 kN·m
Mx = −40 − 11,25 = −51,25 kN·m
Antwoord
Mx = −51,25 kN·m
Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 69,12 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 24·4·3
RB = 288/5 = 57,6 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 57,6 = 38,4 kN
Dwarskracht nul
De dwarskracht begint bij RA, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.
Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = Ic + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.
Netto oppervlakte en traagheidsmoment
A = π(D² − d²)/4 = 4222 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,859 × 10⁶ mm⁴
Traagheidsstraal
r = √(I/A) = √(3,859 × 10⁶/4222) = 30,23 mm
Antwoord
r = 30,23 mm
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Mallow = 4,534 kN·m
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.