Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (3, 2, 1) op b = (3, −3, −1), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (3, 2, 1)b = (3, −3, −1)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal de oppervlakte A van het parallellogram opgespannen door a = (1, −1, −2) en b = (3, 2, −1).

a = (1, −1, −2)b = (3, 2, −1)

A =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Hij draagt een puntlast P op 1,5 m van A en een rechtsdraaiend koppel M op 0,5 m van A. Vind de verticale reactie R_B, met omhoog positief.

L = 4 mP = 20 kN op 1,5 mM = 60 kN·m (rechtsdraaiend) op 0,5 m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die 10 kN/m is bij de muur en afloopt tot nul aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 3,5 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 40 kN op 3,5 m

M_A = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 40 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 4 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 50 kNhorizontale belasting = 20 kN ←

F_AC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 4,8 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 3 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 1,5 m boven de grond. In C werkt een belasting van 5 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.

P = 5 kNAB = 4,8 mhoogte van C = 3 mhoogte van DE = 1,5 m

C = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,5 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 2 kN/m en een puntlast van 12 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 2 kN/mP = 12 kNAD = 1 mAB = 3 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 1 m35 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment M_max tussen de opleggingen.

L = 10,5 mw = 12 kN/m van 0 tot 10,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

M_max = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 240 mm breed met twee opstaande benen, 200 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 12 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 240 mmh = 200 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 240 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 30 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 156 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 240 mmuitsparing: 50 × 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = 0,4588

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 3·3 + 2·(−3) + 1·(−1) = 2

Lengte van b

|b| = √(3² + (−3)² + (−1)²) = 4,359

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = 2/4,359 = 0,4588

Antwoord

comp_b a = 0,4588

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 8,66

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−1) − (−2)·2 = 5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·3 − 1·(−1) = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·2 − (−1)·3 = 5

Oppervlak

A = |a × b| = √(5² + (−5)² + 5²) = 8,66

Antwoord

A = 8,66

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 22,5 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 20·1,5 − 60 = 0

R_B = 90/4 = 22,5 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 20 − 22,5 = −2,5 kN

Antwoord

R_B = 22,5 kN

Een negatieve reactie werkt omlaag.

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 181,7 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Moment om de muur

M_A = W·x̄ + P·a = 25·1,667 + 40·3,5 = 181,7 kN·m

Antwoord

M_A = 181,7 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −18,86 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·4 → C_y = 26,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 26,67 = 13,33 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,33/0,7071 = −18,86 kN

Antwoord

F_AB = −18,86 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 3,75 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·2 − 20·4 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 2,5 = 47,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,5547 = −4,507 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,507)·0,8321 = 3,75 kN

Antwoord

F_AC = 3,75 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: C = 4,717 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Trekstangkracht uit poot BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·2,4/1,5 = 4 kN

Componenten van de pennenkracht op BC

C_x = T = 4 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

Grootte

C = √(4² + 2,5²) = 4,717 kN

Antwoord

C = 4,717 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 100,6 kN

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 2·3 = 6 kN op 1,5 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,4472·1 = 6·1,5 + 12·3 = 45 kN·m

F_CD = 100,6 kN

Antwoord

F_CD = 100,6 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 59,17 kN, R₂ = 25,83 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 59,17, M_C = 68,33, M_D = 77,5 kN·m, M_E = 51,67, M_F = 25,83, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 77,5 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 78,17 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·10,5 = 126 kN, aangrijpend op x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·10,5·5,25

R_B = 661,5/8 = 82,69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 126 − 82,69 = 43,31 kN

Dwarskracht nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 43,31/12 = 3,609 m

Maximaal doorbuigend moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 43,31²/(2·12) = 78,17 kN·m

Antwoord

M_max = 78,17 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 67,04 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

twee benen: A₂ = 2·12·188 = 4512 mm², y₂ = 12 + 188/2 = 106 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2880·6 + 4512·106)/7392 = 67,04 mm

Antwoord

ȳ = 67,04 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (28800·120 − 1500·156)/(28800 − 1500) = 118 mm

Volle plaat om ȳ

120·240³/12 + 28800·1,978² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·30³/12 + 1500·37,98² = 2,276 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics