Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de scalaire projectie compb a van a = (−7, 3, −7) op b = (2, −4, 6), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.
a = (−7, 3, −7)b = (2, −4, 6)
compb a =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal voor a = (4, −1, 4) en b = (−5, 2, −5) de x-component (a × b)x van het uitwendig product a × b.
a = (4, −1, 4)b = (−5, 2, −5)
(a × b)x =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 10 mP1 = 40 kN op 4 mP2 = 60 kN op 5 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 6 mP = 50 kN op 1 mw = 5 kN/m van 1 tot 6 m
RB = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 10 kN ↓H: 20 kN ←
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 300 N in A (120 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (60 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie FO.
F = 300 NOA = 120 mmOB = 60 mm
FO = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 4 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 4 m hoog en 0,6 m rechts van A. Staaf AB draagt een verticale belasting van 12 kN in K, 0,24 m (horizontaal) van A, en in B werkt een horizontale belasting van 10 kN naar rechts op staaf AB. Bepaal de grootte van de horizontale reactie Ax in A.
P = 12 kNQ = 10 kNL = 4 mH = 4 mhorizontale afstand A tot B = 0,6 mhorizontale afstand A tot K = 0,24 m
Ax = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 6 mw = 8 kN/m van 0 tot 6 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 6 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 10 mP = 15 kN op 4 mw = 5 kN/m van 0 tot 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een plaat van 100 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 180 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een plaat van 100 mm × 240 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 84 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 100 mmh = 240 mmuitsparing: 40 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Oplossingen
1.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: compb a = −9,087
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Inwendig product
a·b = (−7)·2 + 3·(−4) + (−7)·6 = −68
Lengte van b
|b| = √(2² + (−4)² + 6²) = 7,483
Scalaire projectie
compb a = a·b/|b| = −68/7,483 = −9,087
Antwoord
compb a = −9,087
Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: (a × b)x = −3
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product, component voor component
(a × b)x = aybz − azby = (−1)·(−5) − 4·2 = −3
(a × b)y = azbx − axbz = 4·(−5) − 4·(−5) = 0
(a × b)z = axby − aybx = 4·2 − (−1)·(−5) = 3
Gevraagde component
(a × b)x = −3
Antwoord
(a × b)x = −3
Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 46 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·10 = 40·4 + 60·5
RB = 460/10 = 46 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 46 = 54 kN
Antwoord
RB = 46 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 22,92 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, aangrijpend op x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1 + 5·5·3,5
RB = 137,5/6 = 22,92 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 22,92 = 52,08 kN
Antwoord
RB = 22,92 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf BF
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt B
AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Kracht in B
Q = 300·120/60 = 600 N
Penreactie
Ox = 600 N, Oy = 300 N
FO = √(600² + 300²) = 670,8 N
Antwoord
FO = 670,8 N
8.Raamwerken en machines
Antwoord: Ax = 0,888 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Richting van BC
BC = 5,25 m, cos = 0,6476, sin = 0,7619
Heel raamwerk: momenten om A
FBC·0,7619·4 = 12·0,24 + 10·4
FBC = 14,07 kN
Horizontaal evenwicht
Ax + 10 − 14,07·0,6476 = 0
Ax = −0,888 kN → |Ax| = 0,888 kN
Antwoord
Ax = 0,888 kN
Het minteken betekent dat Ax naar links wijst.
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = 35 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 24·3,5 − 8·3,5·1,75 = 35 kN·m
Antwoord
Mx = 35 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = 84 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 15·4 + 5·10·5
RB = 310/10 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 31 = 34 kN
Snijd bij x = 6 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 34·6 − 15·(6 − 4) − 5·6·3 = 84 kN·m
Antwoord
Mx = 84 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 221,6 × 10⁶ mm⁴
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (30000·150 − 2827·180)/(30000 − 2827) = 146,9 mm
Volle plaat om ȳ
100·300³/12 + 30000·3,122² = 225,3 × 10⁶ mm⁴
Gat om ȳ
π·60⁴/64 + 2827·33,12² = 3,738 × 10⁶ mm⁴
Trek af
Ix = 221,6 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ix = 221,6 × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 112 × 10⁶ mm⁴
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (24000·120 − 2000·84)/(24000 − 2000) = 123,3 mm