Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (0, −4, 3) en b = (6, 4, 1), in graden.
a = (0, −4, 3)b = (6, 4, 1)
θ = °
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal voor a = (−1, −6, −5) en b = (−2, 3, −4) de y-component (a × b)y van het uitwendig product a × b.
a = (−1, −6, −5)b = (−2, 3, −4)
(a × b)y =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 3 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie RB, met omhoog positief.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 80 kN op 2,5 mP2 = 15 kN op 4 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 6 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 1 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 4 m tot het vrije uiteinde op 8 m. Vind de verticale reactie RB, met omhoog positief.
AB = 6 mAC = 8 mP = 80 kN op 1 mw = 6 kN/m van 4 tot 8 m
RB = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 4 mhoogte = 2 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 45 kN
FBC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 25 kN ↓D: 30 kN ↓F: 30 kN ↓F: 20 kN →
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 50 N in A (120 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (80 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie FO.
F = 50 NOA = 120 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 0,5 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van B naar het punt C op de muur, 1 m boven A. In B hangt een last van 6 kN. Bepaal de grootte van de penreactie A.
W = 6 kNWb = 0,5 kNAB = 5 mAC = 1 m
A = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
Vind de dwarskracht Vx in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 5 mw = 3 kN/m van 0 tot 5 mx = 3,5 m
Vx = kN
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 5 mP = 40 kN op 4 mw = 3 kN/m van 0 tot 5 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 120 mm breed en 10 mm dik, een totale hoogte van 400 mm en een lijf van 10 mm dik. Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale zwaartepuntsas x.
B = 120 mmH = 400 mmtf = 10 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Inwendig product
a·b = 0·6 + (−4)·4 + 3·1 = −13
Groottes
|a| = √(0² + (−4)² + 3²) = 5
|b| = √(6² + 4² + 1²) = 7,28
Hoek
cos θ = −13/(5·7,28) = −0,3571
θ = arccos(−0,3571) = 110,9°
Antwoord
θ = 110,9°
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: (a × b)y = 6
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 86,67 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Momenten om A
Linksom positief.
ΣMA = 0: RB·3 = 80·2,5 + 15·4
RB = 260/3 = 86,67 kN
Verticaal evenwicht
RA = 80 + 15 − 86,67 = 8,333 kN
Antwoord
RB = 86,67 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 37,33 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Resultante van de verdeelde belasting
W = 6·4 = 24 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·6 = 80·1 + 24·6
RB = 224/6 = 37,33 kN
RA = 104 − 37,33 = 66,67 kN
Antwoord
RB = 37,33 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FBC = −37,73 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33,75 = 11,25 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Kracht in B
Q = 50·120/80 = 75 N
Penreactie
Ox = 75 N, Oy = 50 N
FO = √(75² + 50²) = 90,14 N
Antwoord
FO = 90,14 N
8.Raamwerken en machines
Antwoord: A = 31,25 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Kabelspanning
T = (6 + 0,5/2)/0,1961 = 31,87 kN
Componenten in A
Ax = T·cos β = 31,25 kN
Ay = 6 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN
Grootte
A = √(31,25² + 0,25²) = 31,25 kN
Antwoord
A = 31,25 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Vx = −3 kN
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2,5
RB = 37,5/5 = 7,5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7,5 = 7,5 kN
Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
V = RA − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)
Vx = 7,5 − 3·3,5 = −3 kN
Antwoord
Vx = −3 kN
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 38 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·4 + 3·5·2,5
RB = 197,5/5 = 39,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 39,5 = 15,5 kN
Waar is V = 0?
V(4⁻) = RA − w·4 = 3,5 kN
V(4⁺) = 3,5 − 40 = −36,5 kN
De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.
Maximaal moment
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 15,5·4 − 3·4²/2 = 38 kN·m
Antwoord
Mmax = 38 kN·m
Dat is op x = 4 m vanaf A.
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 137 × 10⁶ mm⁴
Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = Ic + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.
Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten
Beide uitsparingen samen zijn (B − tw) breed en hw = H − 2tf hoog, en hebben de as x gemeen.
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm