Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal het inwendig product a·b van a = (3, −1, 6) en b = (3, −5, 2).
a = (3, −1, 6)b = (3, −5, 2)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Een kracht F = (0, 20, 40) N werkt in punt A(4, 0, −3). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de z-component Mz van het moment van de kracht om de oorsprong O(0, 0, 0).
F = (0, 20, 40) NA(4, 0, −3) mO(0, 0, 0) m
Mz = N·m
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 8 mP1 = 55 kN op 2 mP2 = 45 kN op 7 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 4 mP = 15 kN op 1,5 mw = 3 kN/m van 0 tot 2 m
RB = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 60 kN
FAC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 40 kNhorizontale belasting = 10 kN →
FBC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 3,2 m uit elkaar, met de topscharnier C op 4,5 m hoogte en de horizontale trekstang DE 1,5 m boven de grond. Een verticale belasting van 15 kN werkt op poot AC in K, 0,8 m (horizontaal) van A. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.
P = 15 kNAB = 3,2 mhoogte van C = 4,5 mhoogte van DE = 1,5 mhorizontale afstand A tot K = 0,8 m
T = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 8 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 2,5 m hoog en 1,2 m rechts van A. Staaf AB draagt een verticale belasting van 4 kN in K, 0,6 m (horizontaal) van A, en in B werkt een horizontale belasting van 3 kN naar rechts op staaf AB. Bepaal de grootte van de horizontale reactie Ax in A.
P = 4 kNQ = 3 kNL = 8 mH = 2,5 mhorizontale afstand A tot B = 1,2 mhorizontale afstand A tot K = 0,6 m
Ax = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
60 kN @ 4 m15 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment Mmax tussen de opleggingen.
L = 9 mw = 3 kN/m van 0 tot 9 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een plaat van 200 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 60 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 50 MPa op trek en 100 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment Mallow dat de balk kan dragen (geef de grootte).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op
a·b = 3·3 + (−1)·(−5) + 6·2 = 9 + 5 + 12 = 26
Antwoord
a·b = 26
Positief: de hoek tussen de vectoren is kleiner dan 90°.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: Mz = 80 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Plaatsvector van O naar A
r = A − O = (4, 0, −3) − (0, 0, 0) = (4, 0, −3) m
Moment M = r × F
(r × F)x = ryFz − rzFy = 0·40 − (−3)·20 = 60 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = (−3)·0 − 4·40 = −160 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 4·20 − 0·0 = 80 N·m
Gevraagde component
Mz = 80 N·m
Antwoord
Mz = 80 N·m
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 46,88 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·8 = 55·2 + 45·7
RB = 425/8 = 53,13 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 53,13 = 46,88 kN
Antwoord
RA = 46,88 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 7,125 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1,5 + 3·2·1
RB = 28,5/4 = 7,125 kN
ΣFy = 0: RA = 21 − 7,125 = 13,88 kN
Antwoord
RB = 7,125 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAC = 20 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 40 = 20 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·5 = 40·4 + 10·3 → Cy = 38 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 38 = 2 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Heel raamwerk: momenten om A
By = 15·0,8/3,2 = 3,75 kN
Poot BC: momenten om C
3,75·1,6 = T·3
T = 2 kN
Antwoord
T = 2 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: Ax = 0,366 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Richting van BC
BC = 7,245 m, cos = 0,9386, sin = 0,3451
Heel raamwerk: momenten om A
FBC·0,3451·8 = 4·0,6 + 3·2,5
FBC = 3,586 kN
Horizontaal evenwicht
Ax + 3 − 3,586·0,9386 = 0
Ax = 0,366 kN → |Ax| = 0,366 kN
Antwoord
Ax = 0,366 kN
Ax wijst naar rechts.
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: E (x = 4 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 46,25 kN, R2 = 58,75 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = 46,25, MC = 85, MD = 108,8, ME = 117,5 kN·m, MF = 58,75, MG = 0
Antwoord
Markering E: ME = 117,5 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 23,26 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·9 = 27 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (40000·100 − 2827·60)/(40000 − 2827) = 103 mm
Volle plaat om ȳ
200·200³/12 + 40000·−3,042² = 133,7 × 10⁶ mm⁴
Gat om ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−43,04² = 5,874 × 10⁶ mm⁴
Trek af
Ix = 127,8 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ix = 127,8 × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Mallow = 8,41 kN·m
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.