Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal het inwendig product a·b van a = (4, 0, −4) en b = (5, 3, −2).

a = (4, 0, −4)b = (5, 3, −2)

a·b =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal voor a = (−5, −5, −2) en b = (6, −5, −2) de y-component (a × b)_y van het uitwendig product a × b.

a = (−5, −5, −2)b = (6, −5, −2)

(a × b)_y =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 3 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 4 mP = 20 kN op 3 mw = 3 kN/m van 0 tot 4 m

M_A = kN·m

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (2,5 m van A) en rust op een rol in D (6 m van A). Hij draagt een puntlast P op 3 m van A en een puntlast Q op 1,5 m van A. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 65 kN op 3 mQ = 10 kN op 1,5 m

M_A = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

C: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓G: 10 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

C: 25 kN ↓D: 15 kN ↓F: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 250 N in A (150 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (150 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 250 NOA = 150 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 150 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 15 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 2500 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.

Q = 2500 NAB = BC = 150 mmh = 15 mm

F = N

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 50 kN·m op x = 7 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mM₀ = 50 kN·m rechtsom, op 7 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 40 kN op 3 mw = 2 kN/m van 0 tot 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 120 mm breed met twee opstaande benen, 100 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 14 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 120 mmh = 100 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 100 × 10 mm, een lijf van 330 mm hoog en 14 mm dik, en een onderflens van 270 × 18 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 100 × 10 mmlijf: 14 × 330 mmonderflens: 270 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: a·b = 28

Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.

Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op

a·b = 4·5 + 0·3 + (−4)·(−2) = 20 + 0 + 8 = 28

Antwoord

a·b = 28

Positief: de hoek tussen de vectoren is kleiner dan 90°.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: (a × b)_y = −22

Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is M_O = r × F, met r = A − O.

Uitwendig product, component voor component

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−2) − (−2)·(−5) = 0

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·6 − (−5)·(−2) = −22

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−5) − (−5)·6 = 55

Gevraagde component

(a × b)_y = −22

Antwoord

(a × b)_y = −22

Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 84 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m

Moment om de muur

M_A = P·a + W·x̄ = 20·3 + 12·2 = 84 kN·m

Antwoord

M_A = 84 kN·m

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 154,3 kN·m

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 65·0,5

R_D = 9,286 kN

V_C = 65 − 9,286 = 55,71 kN

Deel AC

De scharnierkracht V_C werkt omlaag op AC (even groot en tegengesteld aan haar werking op CD).

R_A = 10 + 55,71 = 65,71 kN

M_A = 10·1,5 + 55,71·2,5 = 154,3 kN·m

Antwoord

M_A = 154,3 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf BF

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt B

AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 31,88 kN (T), BC: 31,88 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 24,37 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 53,13 kN (C), HE: 40,62 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 9,375 kN (T), HC: 21,88 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: BF

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf BF

Knooppunt B

AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 25 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 63,64 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 42,43 kN (T), HC: 28,28 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: BF

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 353,6 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 250·150/150 = 250 N

Penreactie

O_x = 250 N, O_y = 250 N

F_O = √(250² + 250²) = 353,6 N

Antwoord

F_O = 353,6 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F = 502,5 N

Schakelhoek

sin θ = 15/150 = 0,1, θ = 5,739°

Schakelkracht

F_link = Q/cos θ = 2513 N

Kracht in B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2500·tan θ = 502,5 N

Antwoord

F = 502,5 N

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −35 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/10 = 5 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −5 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −5·7 = −35 kN·m

Antwoord

M_x = −35 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 90 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·3 + 2·8·4

R_B = 184/8 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 23 = 33 kN

Snijd bij x = 3 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 33·3 − 2·3·1,5 = 90 kN·m

Antwoord

M_x = 90 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 36,45 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

twee benen: A₂ = 2·14·86 = 2408 mm², y₂ = 14 + 86/2 = 57 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1680·7 + 2408·57)/4088 = 36,45 mm

Antwoord

ȳ = 36,45 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 174,5 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 1000 mm², y = 353 mm

lijf: A = 4620 mm², y = 183 mm

onderflens: A = 4860 mm², y = 9 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1000·353 + 4620·183 + 4860·9)/10480 = 118,5 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 100·10³/12 + 1000·234,5² = 5,498 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·330³/12 + 4620·64,47² = 6,113 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 270·18³/12 + 4860·109,5² = 5,844 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,498 × 10⁷ + 6,113 × 10⁷ + 5,844 × 10⁷

I_x = 1,745 × 10⁸ mm⁴ = 174,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 174,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics