Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (−2, −1, −5) en b = (6, −4, 5), in graden.

a = (−2, −1, −5)b = (6, −4, 5)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Een kracht F = (−10, 0, −20) N werkt in punt A(−2, −1, −3). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de z-component M_z van het moment van de kracht om de oorsprong O(0, 0, 0).

F = (−10, 0, −20) NA(−2, −1, −3) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Hij draagt een puntlast P op 2 m van A en een rechtsdraaiend koppel M op 4 m van A. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

L = 5 mP = 40 kN op 2 mM = 60 kN·m (rechtsdraaiend) op 4 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 2 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 3 m tot het vrije uiteinde op 8 m. Vind de verticale reactie R_B, met omhoog positief.

AB = 5 mAC = 8 mP = 35 kN op 2 mw = 4 kN/m van 3 tot 8 m

R_B = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 20 kN

F_AC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 25 kNhorizontale belasting = 25 kN →

F_AC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 8° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 500 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.

F = 500 Nθ = 8°

Q = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,75 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 5 kN/m en een puntlast van 4 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 5 kN/mP = 4 kNAD = 1 mAB = 2 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 60 kN·m op x = 1 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mM₀ = 60 kN·m rechtsom, op 1 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 40 kN op 3 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 300 mm breed met twee opstaande benen, 100 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 20 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 300 mmh = 100 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_boven = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 133,4 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = (−2)·6 + (−1)·(−4) + (−5)·5 = −33

Groottes

|a| = √((−2)² + (−1)² + (−5)²) = 5,477

|b| = √(6² + (−4)² + 5²) = 8,775

Hoek

cos θ = −33/(5,477·8,775) = −0,6866

θ = arccos(−0,6866) = 133,4°

Antwoord

θ = 133,4°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: M_z = −10 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Plaatsvector van O naar A

r = A − O = (−2, −1, −3) − (0, 0, 0) = (−2, −1, −3) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−20) − (−3)·0 = 20 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·(−10) − (−2)·(−20) = −10 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·0 − (−1)·(−10) = −10 N·m

Gevraagde component

M_z = −10 N·m

Antwoord

M_z = −10 N·m

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 12 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 40·2 − 60 = 0

R_B = 140/5 = 28 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 40 − 28 = 12 kN

Antwoord

R_A = 12 kN

Een negatieve reactie werkt omlaag.

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 36 kN

Resultante van de verdeelde belasting

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 20·5,5

R_B = 180/5 = 36 kN

R_A = 55 − 36 = 19 kN

Antwoord

R_B = 36 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 8 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·4 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16 = 4 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16/0,8944 = −17,89 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−17,89)·0,4472 = 8 kN

Antwoord

F_AC = 8 kN (trek)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 28,13 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 + 25·2 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,5547 = −33,8 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33,8)·0,8321 = 28,13 kN

Antwoord

F_AC = 28,13 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: Q = 1779 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Evenwicht van pen B

2·F_link·sin 8° = 500

F_link = 1796 N

Klemkracht

Q = F_link·cos 8° = 500/(2·tan 8°) = 1779 N

Antwoord

Q = 1779 N

De krachtverhouding Q/F = 3,558 groeit onbeperkt als de schakels strekken.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 30 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 5·2 = 10 kN op 1 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,6·1 = 10·1 + 4·2 = 18 kN·m

F_CD = 30 kN

Antwoord

F_CD = 30 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −15 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/4 = 15 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −15 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −15·1 = −15 kN·m

Antwoord

M_x = −15 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 54 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 2·5·2,5

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 29 = 21 kN

Snijd bij x = 3 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 21·3 − 2·3·1,5 = 54 kN·m

Antwoord

M_x = 54 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 27,39 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 300·20 = 6000 mm², y₁ = 10 mm

twee benen: A₂ = 2·20·80 = 3200 mm², y₂ = 20 + 80/2 = 60 mm

Zwaartepunt

ȳ = (6000·10 + 3200·60)/9200 = 27,39 mm

Antwoord

ȳ = 27,39 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 86,84 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

lijf: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·130 + 1920·60)/6320 = 108,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 220·20³/12 + 4400·(130 − 108,7)² = 2,137 × 10⁶ mm⁴

lijf: 16·120³/12 + 1920·(60 − 108,7)² = 6,864 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,137 × 10⁶ + 6,864 × 10⁶ = 9,001 × 10⁶ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 140 − 108,7 = 31,27 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·31,27/9,001 × 10⁶ = 86,84 MPa

Antwoord

σ_boven = 86,84 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics