Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal het inwendig product a·b van a = (5, −7, −7) en b = (−7, 7, 3).
a = (5, −7, −7)b = (−7, 7, 3)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal de oppervlakte A van het parallellogram opgespannen door a = (3, 3, 0) en b = (0, 2, 4).
a = (3, 3, 0)b = (0, 2, 4)
A =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 6 mP1 = 50 kN op 1,5 mP2 = 40 kN op 5 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 7 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 2 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 6 m tot het vrije uiteinde op 10 m. Vind de verticale reactie RA, met omhoog positief.
AB = 7 mAC = 10 mP = 25 kN op 2 mw = 5 kN/m van 6 tot 10 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 30 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 4 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 2,4 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 0,8 m boven de grond. In C werkt een belasting van 10 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.
P = 10 kNAB = 4 mhoogte van C = 2,4 mhoogte van DE = 0,8 m
C = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 100 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 12 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 5000 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.
Q = 5000 NAB = BC = 100 mmh = 12 mm
F = N
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 6 mw = 10 kN/m van 0 tot 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
30 kN @ 12 m15 kN @ 2 m4 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 220 mm breed met twee opstaande benen, 160 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 12 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.
b = 220 mmh = 160 mmt = 12 mm
ȳ = mm
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 140 × 10 mm, een lijf van 180 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 210 × 14 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale as x door het zwaartepunt.
Inwendig product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.
Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op
Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: A = 18
Uitwendig product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is MO = r × F, met r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = 3·4 − 0·2 = 12
(a × b)y = azbx − axbz = 0·0 − 3·4 = −12
(a × b)z = axby − aybx = 3·2 − 3·0 = 6
Oppervlak
A = |a × b| = √(12² + (−12)² + 6²) = 18
Antwoord
A = 18
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 44,17 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1,5 + 40·5
RB = 275/6 = 45,83 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 45,83 = 44,17 kN
Antwoord
RA = 44,17 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 15 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Resultante van de verdeelde belasting
W = 5·4 = 20 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·7 = 25·2 + 20·8
RB = 210/7 = 30 kN
RA = 45 − 30 = 15 kN
Antwoord
RA = 15 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf BF
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt B
AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt B
AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Trekstangkracht uit poot BC
By = 5 kN
T = 5·2/1,6 = 6,25 kN
Componenten van de pennenkracht op BC
Cx = T = 6,25 kN, Cy = −By = −5 kN
Grootte
C = √(6,25² + 5²) = 8,004 kN
Antwoord
C = 8,004 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: F = 1209 N
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Schakelhoek
sin θ = 12/100 = 0,12, θ = 6,892°
Schakelkracht
Flink = Q/cos θ = 5036 N
Kracht in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 1209 N
Antwoord
F = 1209 N
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = 25 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 30·1 − 10·1·0,5 = 25 kN·m
Antwoord
Mx = 25 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: F (x = 10 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 26 kN, R2 = 59 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = 44, MC = 42, MD = 24, ME = −10, MF = −60 kN·m, MG = 0
Antwoord
Markering F: MF = −60 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: ȳ = 51,89 mm
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in rechthoeken
Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.
basis: A1 = 220·12 = 2640 mm², y1 = 6 mm
twee benen: A2 = 2·12·148 = 3552 mm², y2 = 12 + 148/2 = 86 mm
Zwaartepunt
ȳ = (2640·6 + 3552·86)/6192 = 51,89 mm
Antwoord
ȳ = 51,89 mm
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 42,63 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in drie rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
bovenflens: A = 1400 mm², y = 199 mm
lijf: A = 2160 mm², y = 104 mm
onderflens: A = 2940 mm², y = 7 mm
Zwaartepunt
ȳ = (1400·199 + 2160·104 + 2940·7)/6500 = 80,59 mm