Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Een constante kracht F = (−20, 20, 25) N werkt op een voorwerp terwijl het zich in een rechte lijn verplaatst van punt A(4, 3, 1) naar punt B(5, −5, 5). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de arbeid W die de kracht verricht.
F = (−20, 20, 25) NA(4, 3, 1) mB(5, −5, 5) m
W = J
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal de oppervlakte A van het parallellogram opgespannen door a = (6, −1, 6) en b = (−4, −4, 5).
a = (6, −1, 6)b = (−4, −4, 5)
A =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 6 mP1 = 55 kN op 1 mP2 = 15 kN op 4 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 4 mP = 50 kN op 2 mw = 10 kN/m van 0 tot 1 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 60 kN
FBC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 8 mhoogte = 2 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 15 kNhorizontale belasting = 5 kN ←
FAC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 10° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 150 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.
F = 150 Nθ = 10°
Q = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 100 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 20 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 2500 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.
Q = 2500 NAB = BC = 100 mmh = 20 mm
F = N
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 4 mw = 6 kN/m van 0 tot 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 5 mw = 12 kN/m van 0 tot 4 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 150 × 18 mm, een lijf van 270 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 270 × 24 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale as x door het zwaartepunt.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Verplaatsing
d = B − A = (5, −5, 5) − (4, 3, 1) = (1, −8, 4) m
Arbeid
W = F·d = (−20)·1 + 20·(−8) + 25·4 = −80 J
Antwoord
W = −80 J
Negatieve arbeid: de kracht werkt grotendeels tegen de beweging in.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: A = 63,73
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = (−1)·5 − 6·(−4) = 19
(a × b)y = azbx − axbz = 6·(−4) − 6·5 = −54
(a × b)z = axby − aybx = 6·(−4) − (−1)·(−4) = −28
Oppervlak
A = |a × b| = √(19² + (−54)² + (−28)²) = 63,73
Antwoord
A = 63,73
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 19,17 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1 + 15·4
RB = 115/6 = 19,17 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 19,17 = 50,83 kN
Antwoord
RB = 19,17 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 33,75 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 0,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 10·1·0,5
RB = 105/4 = 26,25 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 26,25 = 33,75 kN
Antwoord
RA = 33,75 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FBC = −19,44 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 10 = 50 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 − 5·2 → Cy = 8,125 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 8,125 = 6,875 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Evenwicht van pen B
2·Flink·sin 10° = 150
Flink = 431,9 N
Klemkracht
Q = Flink·cos 10° = 150/(2·tan 10°) = 425,3 N
Antwoord
Q = 425,3 N
De krachtverhouding Q/F = 2,836 groeit onbeperkt als de schakels strekken.
8.Raamwerken en machines
Antwoord: F = 1021 N
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Schakelhoek
sin θ = 20/100 = 0,2, θ = 11,54°
Schakelkracht
Flink = Q/cos θ = 2552 N
Kracht in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 1021 N
Antwoord
F = 1021 N
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = 11,25 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 6·4·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 12·2,5 − 6·2,5·1,25 = 11,25 kN·m
Antwoord
Mx = 11,25 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 34,56 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·4·2
RB = 96/5 = 19,2 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 19,2 = 28,8 kN
Dwarskracht nul
De dwarskracht begint bij RA, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in drie rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
bovenflens: A = 2700 mm², y = 303 mm
lijf: A = 3240 mm², y = 159 mm
onderflens: A = 6480 mm², y = 12 mm
Zwaartepunt
ȳ = (2700·303 + 3240·159 + 6480·12)/12420 = 113,6 mm