Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (−7, 2, 5) op b = (0, 2, −1), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (−7, 2, 5)b = (0, 2, −1)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(3, −2, −1), B(2, −2, −4) en C(1, 4, 3). Coördinaten zijn in meter.

A(3, −2, −1)B(2, −2, −4)C(1, 4, 3)

A = m²

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 3 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 40 kN op 1,5 mP₂ = 15 kN op 4 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 6 mP = 15 kN op 4 mw = 12 kN/m van 1 tot 6 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 35 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 25 kNhorizontale belasting = 10 kN →

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 5° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 200 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.

F = 200 Nθ = 5°

Q = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 3 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 3 m hoog en 0,9 m rechts van A. Staaf AB draagt een verticale belasting van 6 kN in K, 0,675 m (horizontaal) van A, en in B werkt een horizontale belasting van 10 kN naar rechts op staaf AB. Bepaal de grootte van de horizontale reactie A_x in A.

P = 6 kNQ = 10 kNL = 3 mH = 3 mhorizontale afstand A tot B = 0,9 mhorizontale afstand A tot K = 0,675 m

A_x = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 2,5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 3 mP = 30 kN op 2,5 mw = 5 kN/m van 0 tot 3 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 20 kN op 1 mw = 5 kN/m van 0 tot 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 150 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 84 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 240 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_onder = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = −0,4472

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = (−7)·0 + 2·2 + 5·(−1) = −1

Lengte van b

|b| = √(0² + 2² + (−1)²) = 2,236

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = −1/2,236 = −0,4472

Antwoord

comp_b a = −0,4472

Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 10,72 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Zijdevectoren

AB = B − A = (−1, 0, −3)

AC = C − A = (−2, 6, 4)

Uitwendig product

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·4 − (−3)·6 = 18

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·(−2) − (−1)·4 = 10

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·6 − 0·(−2) = −6

|AB × AC| = √(18² + 10² + (−6)²) = 21,45

Oppervlakte van de driehoek

A = ½·21,45 = 10,72 m²

Antwoord

A = 10,72 m²

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 15 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 40·1,5 + 15·4

R_B = 120/3 = 40 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 40 + 15 − 40 = 15 kN

Antwoord

R_A = 15 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 30 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, aangrijpend op x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 12·5·3,5

R_B = 270/6 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 45 = 30 kN

Antwoord

R_A = 30 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −29,7 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 14 = 21 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21/0,7071 = −29,7 kN

Antwoord

F_AB = −29,7 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = 4,688 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 + 10·4 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 28,75 = −3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−3,75/0,8 = 4,688 kN

Antwoord

F_AB = 4,688 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: Q = 1143 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Evenwicht van pen B

2·F_link·sin 5° = 200

F_link = 1147 N

Klemkracht

Q = F_link·cos 5° = 200/(2·tan 5°) = 1143 N

Antwoord

Q = 1143 N

De krachtverhouding Q/F = 5,715 groeit onbeperkt als de schakels strekken.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: A_x = 2,055 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Richting van BC

BC = 3,662 m, cos = 0,5735, sin = 0,8192

Heel raamwerk: momenten om A

F_BC·0,8192·3 = 6·0,675 + 10·3

F_BC = 13,85 kN

Horizontaal evenwicht

A_x + 10 − 13,85·0,5735 = 0

A_x = −2,055 kN → |A_x| = 2,055 kN

Antwoord

A_x = 2,055 kN

Het minteken betekent dat A_x naar links wijst.

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −35,63 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −30·1 = −30 kN·m

w: −5·1,5²/2 = −5,625 kN·m

M_x = −30 − 5,625 = −35,63 kN·m

Antwoord

M_x = −35,63 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 13,63 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 5·5·2,5

R_B = 82,5/5 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 16,5 = 28,5 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 28,5·0,5 − 5·0,5·0,25 = 13,63 kN·m

Antwoord

M_x = 13,63 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 171,8 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·120 − 706,9·84)/(36000 − 706,9) = 120,7 mm

Volle plaat om ȳ

150·240³/12 + 36000·−0,721² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−36,72² = 0,9929 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 171,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 171,8 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 37,26 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

lijf: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·232,5 + 3960·110)/7960 = 171,6 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·25³/12 + 4000·(232,5 − 171,6)² = 1,506 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·220³/12 + 3960·(110 − 171,6)² = 3,098 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,506 × 10⁷ + 3,098 × 10⁷ = 4,604 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 171,6 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·171,6/4,604 × 10⁷ = 37,26 MPa

Antwoord

σ_onder = 37,26 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics