Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal het inwendig product a·b van a = (3, −4, −2) en b = (−4, 5, 4).
a = (3, −4, −2)b = (−4, 5, 4)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−4, −4, −3) als b = (4, 5, −5) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂y.
a = (−4, −4, −3)b = (4, 5, −5)n̂z > 0
n̂y =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die oploopt van nul in A tot 20 kN/m in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 8 mw0 = 20 kN/m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 8 mP = 35 kN op 3 mw = 10 kN/m van 5 tot 7 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 4 mhoogte = 2 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 30 kN
FAC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 35 kNhorizontale belasting = 10 kN ←
FBC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 25° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 200 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.
F = 200 Nθ = 25°
Q = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 5 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 4 m hoog, en worden verbonden door de horizontale staaf DE op 1,2 m. In C werkt een horizontale kracht van 2 kN naar rechts. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.
P = 2 kNAB = 5 mhoogte van C = 4 mhoogte van DE = 1,2 m
T = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 1 m vanaf A. Vind het buigend moment MA bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 3 mP = 40 kN op 1 mw = 4 kN/m van 0 tot 3 m
MA = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het buigend moment MB bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 6 mw = 8 kN/m van 0 tot 6 mopleggingen bij x = 0 en x = 4 m
MB = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 170 × 10 mm, een lijf van 240 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 200 × 18 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale as x door het zwaartepunt.
Inwendig product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.
Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op
Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: n̂y = 0,6724
Uitwendig product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is MO = r × F, met r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·(−5) − (−3)·5 = 35
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·4 − (−4)·(−5) = −32
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·5 − (−4)·4 = −4
Normeren
De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Resultante van de driehoeksbelasting
W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·8 = 80·5,333
RB = 53,33 kN
RA = 80 − 53,33 = 26,67 kN
Antwoord
RA = 26,67 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 26,88 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·3 + 10·2·6
RB = 225/8 = 28,13 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 28,13 = 26,88 kN
Antwoord
RA = 26,88 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAC = 11,25 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 35·1 − 10·2 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 2,5 = 32,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Evenwicht van pen B
2·Flink·sin 25° = 200
Flink = 236,6 N
Klemkracht
Q = Flink·cos 25° = 200/(2·tan 25°) = 214,5 N
Antwoord
Q = 214,5 N
De krachtverhouding Q/F = 1,072 groeit onbeperkt als de schakels strekken.
8.Raamwerken en machines
Antwoord: T = 1,429 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Heel raamwerk: momenten om A
By·5 = 2·4
By = 1,6 kN
Poot BC: momenten om C
1,6·2,5 = T·2,8
T = 1,429 kN
Antwoord
T = 1,429 kN
Een positieve T betekent dat de trekstang op trek staat, zoals aangenomen.
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: MA = −58 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Houd het deel met het vrije uiteinde over
P: −40·1 = −40 kN·m
w: −4·3²/2 = −18 kN·m
MA = −40 − 18 = −58 kN·m
Antwoord
MA = −58 kN·m
Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: MB = −16 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·6·3
RB = 144/4 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 36 = 12 kN
Snede bij B, houd het overstek over
De belasting op het overstek, w·a, grijpt aan op a/2 vanaf B en laat de balk boven de oplegging opbuigen.
MB = −w·a²/2 = −8·2²/2 = −16 kN·m
Antwoord
MB = −16 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 61,56 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in drie rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
bovenflens: A = 1700 mm², y = 263 mm
lijf: A = 1920 mm², y = 138 mm
onderflens: A = 3600 mm², y = 9 mm
Zwaartepunt
ȳ = (1700·263 + 1920·138 + 3600·9)/7220 = 103,1 mm