Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (1, −4, −2) en b = (2, 5, −3), in graden.

a = (1, −4, −2)b = (2, 5, −3)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−4, 5, −2) als b = (−5, −1, 2) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂_y.

a = (−4, 5, −2)b = (−5, −1, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die oploopt van nul in A tot 6 kN/m in B. Op 1,5 m van A werkt ook een puntlast P. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 5 mw₀ = 6 kN/mP = 40 kN op 1,5 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 10 mP = 15 kN op 3 mw = 10 kN/m van 2 tot 7 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

C: 40 kN ↓D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 3 mB ligt 7 m van Averticale belasting = 55 kNhorizontale belasting = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 200 N in A (120 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (80 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 200 NOA = 120 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 2,4 m uit elkaar, met de topscharnier C op 2,4 m hoogte en de horizontale trekstang DE 0,6 m boven de grond. Een verticale belasting van 20 kN werkt op poot AC in K, 0,72 m (horizontaal) van A. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.

P = 20 kNAB = 2,4 mhoogte van C = 2,4 mhoogte van DE = 0,6 mhorizontale afstand A tot K = 0,72 m

C = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

10 kN @ 4 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 8 mP = 10 kN op 7 mw = 10 kN/m van 0 tot 8 m

M_max = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 15 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_onder = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 115,1 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 1·2 + (−4)·5 + (−2)·(−3) = −12

Groottes

|a| = √(1² + (−4)² + (−2)²) = 4,583

|b| = √(2² + 5² + (−3)²) = 6,164

Hoek

cos θ = −12/(4,583·6,164) = −0,4248

θ = arccos(−0,4248) = 115,1°

Antwoord

θ = 115,1°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_y = 0,5134

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·2 − (−2)·(−1) = 8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−5) − (−4)·2 = 18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−1) − 5·(−5) = 29

Normeren

De z-component van a × b is al positief.

|a × b| = √(8² + 18² + 29²) = 35,06

n̂ = (8, 18, 29)/35,06 = (0,2282, 0,5134, 0,8272)

n̂_y = 0,5134

Antwoord

n̂_y = 0,5134

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 33 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,333 + 40·1,5

R_B = 22 kN

R_A = 55 − 22 = 33 kN

Antwoord

R_A = 33 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 38 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·3 + 10·5·4,5

R_B = 270/10 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 27 = 38 kN

Antwoord

R_A = 38 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf BF

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt B

AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 75 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 85 kN (T), DE: 85 kN (T), FG: 110 kN (C), GH: 110 kN (C), AF: 106,1 kN (C), HE: 120,2 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 49,5 kN (T), HC: 35,36 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: BF

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −26,97 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 − 10·3 → C_y = 44,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 44,38 = 10,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10,63/0,3939 = −26,97 kN

Antwoord

F_AB = −26,97 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 360,6 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 200·120/80 = 300 N

Penreactie

O_x = 300 N, O_y = 200 N

F_O = √(300² + 200²) = 360,6 N

Antwoord

F_O = 360,6 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: C = 7,211 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Oplegreactie in B

B_y = 20·0,72/2,4 = 6 kN

Trekstangkracht

T = 6·1,2/1,8 = 4 kN

Pennenkracht op BC

C_x = 4 kN, C_y = −6 kN

C = √(4² + 6²) = 7,211 kN

Antwoord

C = 7,211 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 6,667 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 46,67, M_C = 53,33 kN·m, M_D = 40, M_E = 26,67, M_F = 13,33, M_G = 0

Antwoord

Markering C: M_C = 53,33 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 85,08 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·7 + 10·8·4

R_B = 390/8 = 48,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 48,75 = 41,25 kN

Waar is V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 41,25/10 = 4,125 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 41,25·4,125 − 10·4,125²/2 = 85,08 kN·m

Antwoord

M_max = 85,08 kN·m

Dat is op x = 4,125 m vanaf A.

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 26,28 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

lijf: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·210 + 2400·100)/6400 = 168,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·20³/12 + 4000·(210 − 168,8)² = 6,94 × 10⁶ mm⁴

lijf: 12·200³/12 + 2400·(100 − 168,8)² = 1,934 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,94 × 10⁶ + 1,934 × 10⁷ = 2,628 × 10⁷ mm⁴ = 26,28 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 26,28 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 184,7 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

lijf: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·185 + 1440·90)/4040 = 151,1 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·10³/12 + 2600·(185 − 151,1)² = 3,003 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·180³/12 + 1440·(90 − 151,1)² = 9,271 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,003 × 10⁶ + 9,271 × 10⁶ = 1,227 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 151,1 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·151,1/1,227 × 10⁷ = 184,7 MPa

Antwoord

σ_onder = 184,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics