Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (5, 2, 2) op b = (−5, −2, −3), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (5, 2, 2)b = (−5, −2, −3)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(−2, −3, 3), B(−1, 1, 1) en C(1, 1, 4). Coördinaten zijn in meter.

A(−2, −3, 3)B(−1, 1, 1)C(1, 1, 4)

A = m²

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die afloopt van 4 kN/m in A tot nul in B. Op 2 m van A werkt ook een puntlast P. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 20 kN op 2 m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 4 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 0,5 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 3,5 m tot het vrije uiteinde op 6 m. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

AB = 4 mAC = 6 mP = 25 kN op 0,5 mw = 2 kN/m van 3,5 tot 6 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 20 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

D: 35 kN ↓H: 30 kN ↓H: 25 kN ←

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Een horizontale balk AB is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt gesteund door de stut CD, die in C, 1,5 m onder A, scharnierend aan de muur zit. In B hangt een last van 6 kN. Verwaarloos de gewichten. Bepaal de grootte van de pennenkracht A op de balk in A.

P = 6 kNAD = 1,6 mAB = 3,6 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 3 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van B naar het punt C op de muur, 2,5 m boven A. In B hangt een last van 10 kN. Bepaal de grootte van de penreactie A.

W = 10 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 2,5 m

A = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 8 kN/m van 0 tot 8 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mP = 80 kN op 5 mw = 8 kN/m van 0 tot 6 m

M_max = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 180 mm breed en 14 mm dik, een totale hoogte van 220 mm en een lijf van 8 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 180 mmH = 220 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 80 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 130 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmuitsparing: 80 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = −5,678

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 5·(−5) + 2·(−2) + 2·(−3) = −35

Lengte van b

|b| = √((−5)² + (−2)² + (−3)²) = 6,164

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = −35/6,164 = −5,678

Antwoord

comp_b a = −5,678

Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 8,016 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Zijdevectoren

AB = B − A = (1, 4, −2)

AC = C − A = (3, 4, 1)

Uitwendig product

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·1 − (−2)·4 = 12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−2)·3 − 1·1 = −7

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 1·4 − 4·3 = −8

|AB × AC| = √(12² + (−7)² + (−8)²) = 16,03

Oppervlakte van de driehoek

A = ½·16,03 = 8,016 m²

Antwoord

A = 8,016 m²

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 10,67 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2 + 20·2

R_B = 10,67 kN

R_A = 32 − 10,67 = 21,33 kN

Antwoord

R_B = 10,67 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 20,94 kN

Resultante van de verdeelde belasting

W = 2·2,5 = 5 kN, x̄ = (3,5 + 6)/2 = 4,75 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·0,5 + 5·4,75

R_B = 36,25/4 = 9,063 kN

R_A = 30 − 9,063 = 20,94 kN

Antwoord

R_A = 20,94 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −6,479 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,5145 = −6,479 kN

Antwoord

F_BC = −6,479 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 2,5 kN (C), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 60,1 kN (C), BF: 22,5 kN (T), CG: 0, DH: 12,5 kN (T), BG: 31,82 kN (C), DG: 31,82 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: CG

7.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 16,24 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Stutkracht

F_CD = 6·3,6/(0,6839·1,6) = 19,74 kN

Componenten in A

A_x = F_CD·cos α = 14,4 kN (naar de muur toe)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −7,5 kN

Grootte

A = √(14,4² + −7,5²) = 16,24 kN

Antwoord

A = 16,24 kN

Een negatieve A_y betekent dat de muur de balk in A omlaag trekt.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 23,05 kN

Kabelspanning

T = (10 + 3/2)/0,4472 = 25,71 kN

Componenten in A

A_x = T·cos β = 23 kN

A_y = 10 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Grootte

A = √(23² + 1,5²) = 23,05 kN

Antwoord

A = 23,05 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 15 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 32·0,5 − 8·0,5·0,25 = 15 kN·m

Antwoord

M_x = 15 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 87,11 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·5 + 8·6·3

R_B = 544/6 = 90,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 128 − 90,67 = 37,33 kN

Waar is V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 37,33/8 = 4,667 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 37,33·4,667 − 8·4,667²/2 = 87,11 kN·m

Antwoord

M_max = 87,11 kN·m

Dat is op x = 4,667 m vanaf A.

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 58,27 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 220 − 2·14 = 192 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·220³ − 172·192³)/12

I_x = 5,827 × 10⁷ mm⁴ = 58,27 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 58,27 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 74,85 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 4000·130)/(24000 − 4000) = 94 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·6² = 80,86 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

80·50³/12 + 4000·36² = 6,017 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 74,85 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 74,85 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics