Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Een constante kracht F = (−5, 30, −30) N werkt op een voorwerp terwijl het zich in een rechte lijn verplaatst van punt A(5, −2, 5) naar punt B(0, 5, 0). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de arbeid W die de kracht verricht.

F = (−5, 30, −30) NA(5, −2, 5) mB(0, 5, 0) m

W = J

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−1, −1, −5) als b = (−4, −1, 2) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂_y.

a = (−1, −1, −5)b = (−4, −1, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die afloopt van 4 kN/m in A tot nul in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 5 mw₀ = 4 kN/m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 8 mP = 15 kN op 3 mw = 3 kN/m van 1 tot 6 m

R_B = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 4 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 35 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 20 kNhorizontale belasting = 30 kN →

F_AC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 250 N in A (300 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (60 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 250 NOA = 300 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 2 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 3,6 m hoog, en worden verbonden door de horizontale staaf DE op 1,2 m. In C werkt een horizontale kracht van 2 kN naar rechts. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.

P = 2 kNAB = 2 mhoogte van C = 3,6 mhoogte van DE = 1,2 m

T = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 12 kN/m van 0 tot 8 mx = 3,5 m

V_x = kN

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 50 kN op 1,5 mw = 6 kN/m van 0 tot 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 120 mm breed en 12 mm dik, een totale hoogte van 360 mm en een lijf van 14 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 120 mmH = 360 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 180 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 14 mm dik. Het draagt een buigend moment van 120 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 180 mmH = 460 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: W = 385 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Verplaatsing

d = B − A = (0, 5, 0) − (5, −2, 5) = (−5, 7, −5) m

Arbeid

W = F·d = (−5)·(−5) + 30·7 + (−30)·(−5) = 385 J

Antwoord

W = 385 J

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_y = −0,945

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·2 − (−5)·(−1) = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−4) − (−1)·2 = 22

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−1) − (−1)·(−4) = −3

Normeren

De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).

|a × b| = √((−7)² + 22² + (−3)²) = 23,28

n̂ = −(−7, 22, −3)/23,28 = (0,3007, −0,945, 0,1289)

n̂_y = −0,945

Antwoord

n̂_y = −0,945

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 3,333 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·4·5 = 10 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1,667

R_B = 3,333 kN

R_A = 10 − 3,333 = 6,667 kN

Antwoord

R_B = 3,333 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 12,19 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, aangrijpend op x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·3 + 3·5·3,5

R_B = 97,5/8 = 12,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 12,19 = 17,81 kN

Antwoord

R_B = 12,19 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −21,01 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·5 → C_y = 21,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 21,88 = 13,13 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,13/0,6247 = −21,01 kN

Antwoord

F_AB = −21,01 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 11,25 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 + 30·4 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 45 = −25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0,9701 = −46,38 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46,38)·0,2425 = 11,25 kN

Antwoord

F_AC = 11,25 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 1275 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 250·300/60 = 1250 N

Penreactie

O_x = 1250 N, O_y = 250 N

F_O = √(1250² + 250²) = 1275 N

Antwoord

F_O = 1275 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 1,5 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Heel raamwerk: momenten om A

B_y·2 = 2·3,6

B_y = 3,6 kN

Poot BC: momenten om C

3,6·1 = T·2,4

T = 1,5 kN

Antwoord

T = 1,5 kN

Een positieve T betekent dat de trekstang op trek staat, zoals aangenomen.

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 6 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 48 − 12·3,5 = 6 kN

Antwoord

V_x = 6 kN

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 58,13 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 6·4·2

R_B = 123/4 = 30,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 30,75 = 43,25 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 43,25·1,5 − 6·1,5·0,75 = 58,13 kN·m

Antwoord

M_x = 58,13 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 360 − 2·12 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·360³ − 106·336³)/12

I_x = 1,315 × 10⁸ mm⁴ = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 57,91 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·20 = 420 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·460³ − 166·420³)/12

I_x = 4,352 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 230 − 20 = 210 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·210/4,352 × 10⁸ = 57,91 MPa

Antwoord

σ_j = 57,91 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics