Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|

Methode

  1. Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
  2. Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
  3. Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

  1. Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
  2. Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
  3. Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
  4. Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
xyzab

Bepaal het inwendig product a·b van a = (−7, 4, 6) en b = (−3, −3, −7).

a = (−7, 4, 6)b = (−3, −3, −7)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
xyzab

Bepaal de oppervlakte A van het parallellogram opgespannen door a = (1, −6, 4) en b = (3, 5, −6).

a = (1, −6, 4)b = (3, 5, −6)
A =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
w0​ = 10 kN/mABRB​ = ?5 m

De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die afloopt van 10 kN/m in A tot nul in B. Vind de verticale oplegreactie RB.

L = 5 mw0 = 10 kN/m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
P = 65 kN, 60°Q = 55 kNABRA​ = ?0,5 m1,5 m2 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 2 m van A, onder een hoek van 60° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 0,5 m van A. Vind de grootte van de totale reactiekracht RA in het scharnier A.

L = 4 mP = 65 kN op 2 m, θ = 60°Q = 55 kN op 0,5 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABCDEFGH10 kN35 kN25 kN15 kN4 × 4 m3 m

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

C: 10 kN ↓D: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1staaf AB
  2. 2staaf BC
  3. 3staaf CD
  4. 4staaf DE
  5. 5staaf FG
  6. 6staaf GH
  7. 7staaf AF
  8. 8staaf HE
  9. 9staaf BF
  10. 10staaf CG
  11. 11staaf DH
  12. 12staaf FC
  13. 13staaf HC
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABCDEFGH20 kN40 kN4 × 3 m4 m

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

D: 20 kN ↓F: 40 kN →
  1. 1staaf AB
  2. 2staaf BC
  3. 3staaf CD
  4. 4staaf DE
  5. 5staaf FG
  6. 6staaf GH
  7. 7staaf AF
  8. 8staaf HE
  9. 9staaf BF
  10. 10staaf CG
  11. 11staaf DH
  12. 12staaf BG
  13. 13staaf DG
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
6 kN2,4 m1 m3,5 mABCDE

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 2,4 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 4,5 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 1 m boven de grond. In C werkt een belasting van 6 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.

P = 6 kNAB = 2,4 mhoogte van C = 4,5 mhoogte van DE = 1 m
C = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
12 kN2 kN6 m1 mABC

Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 2 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van B naar het punt C op de muur, 1 m boven A. In B hangt een last van 12 kN. Bepaal de grootte van de penreactie A.

W = 12 kNWb = 2 kNAB = 6 mAC = 1 m
A = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
20 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

20 kN @ 1 m20 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
6 kN/m15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 12 m6 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
100 mm300 mm195 mmØ60xIx​ = ?

Een plaat van 100 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 195 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
2002030016xM = 30 kN·mafmetingen in mm

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σboven aan de bovenrand.

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 30 kN·m
σboven = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: a·b = −33

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op

a·b = (−7)·(−3) + 4·(−3) + 6·(−7) = 21 + (−12) + (−42) = −33

Antwoord

a·b = −33

Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 33,3

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)x = aybz − azby = (−6)·(−6) − 4·5 = 16
(a × b)y = azbx − axbz = 4·3 − 1·(−6) = 18
(a × b)z = axby − aybx = 1·5 − (−6)·3 = 23

Oppervlak

A = |a × b| = √(16² + 18² + 23²) = 33,3

Antwoord

A = 33,3
3.Oplegreacties van balken

Antwoord: RB = 8,333 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣMA = 0: RB·5 = 25·1,667
RB = 8,333 kN
RA = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Antwoord

RB = 8,333 kN
4.Oplegreacties van balken

Antwoord: RA = 82,91 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Componenten van P

Pv = 65·sin 60° = 56,29 kN
Ph = 65·cos 60° = 32,5 kN

Reacties

ΣMA = 0: RB·4 = 56,29·2 + 55·0,5 → RB = 35,02 kN
Ay = 56,29 + 55 − 35,02 = 76,27 kN
Ax = Ph = 32,5 kN

Resultante in A

RA = √(32,5² + 76,27²) = 82,91 kN

Antwoord

RA = 82,91 kN
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf BF

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt B

AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 73,33 kN (T), DE: 73,33 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 91,67 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 50 kN (T), HC: 8,333 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: BF
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 33,75 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 33,75 kN (C), GH: 21,25 kN (C), AF: 10,42 kN (T), HE: 35,42 kN (C), BF: 8,333 kN (C), CG: 0, DH: 28,33 kN (T), BG: 10,42 kN (T), DG: 10,42 kN (C)

Antwoord

Nulstaaf: CG
7.Raamwerken en machines

Antwoord: C = 3,171 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Trekstangkracht uit poot BC

By = 3 kN
T = 3·1,2/3,5 = 1,029 kN

Componenten van de pennenkracht op BC

Cx = T = 1,029 kN, Cy = −By = −3 kN

Grootte

C = √(1,029² + 3²) = 3,171 kN

Antwoord

C = 3,171 kN
8.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 78,01 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Kabelspanning

T = (12 + 2/2)/0,1644 = 79,08 kN

Componenten in A

Ax = T·cos β = 78 kN
Ay = 12 + 2 − T·sin β = 1 kN

Grootte

A = √(78² + 1²) = 78,01 kN

Antwoord

A = 78,01 kN
9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 30 kN, R2 = 10 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = 30, MC = 40 kN·m, MD = 30, ME = 20, MF = 10, MG = 0

Antwoord

Markering C: MC = 40 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 16,5 kN, R2 = 46,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = 21, MC = 18, MD = −9, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

Antwoord

Markering E: ME = −60 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 218 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·150 − 2827·195)/(30000 − 2827) = 145,3 mm

Volle plaat om ȳ

100·300³/12 + 30000·4,682² = 225,7 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·60⁴/64 + 2827·49,68² = 7,615 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 218 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 218 × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σboven = 31,72 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
lijf: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·310 + 4800·150)/8800 = 222,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·20³/12 + 4000·(310 − 222,7)² = 3,06 × 10⁷ mm⁴
lijf: 16·300³/12 + 4800·(150 − 222,7)² = 6,139 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,06 × 10⁷ + 6,139 × 10⁷ = 9,199 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 320 − 222,7 = 97,27 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·97,27/9,199 × 10⁷ = 31,72 MPa

Antwoord

σboven = 31,72 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics