Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (−2, 2, 4) op b = (−4, −3, −4), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (−2, 2, 4)b = (−4, −3, −4)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Een kracht F = (−20, −20, −30) N werkt in punt A(1, 4, 0). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de y-component M_y van het moment van de kracht om de oorsprong O(0, 0, 0).

F = (−20, −20, −30) NA(1, 4, 0) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 3,5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 55 kN op 2,5 mP₂ = 65 kN op 5 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die nul is bij de muur en oploopt tot 20 kN/m aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 2 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 6 mw₀ = 20 kN/mP = 80 kN op 2 m

M_A = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

C: 15 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

C: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 20 kN ↓F: 30 kN →G: 30 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 100 N in A (100 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (150 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 100 NOA = 100 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 1 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van B naar het punt C op de muur, 1,5 m boven A. In B hangt een last van 10 kN. Bepaal de grootte van de penreactie A.

W = 10 kNW_b = 1 kNAB = 5 mAC = 1,5 m

A = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mw = 12 kN/m van 0 tot 10 mx = 2,5 m

V_x = kN

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 4 mw = 20 kN/m van 0 tot 2 m

x₀ = m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 200 × 10 mm, een lijf van 400 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 300 × 18 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 200 × 10 mmlijf: 12 × 400 mmonderflens: 300 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = −2,186

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = (−2)·(−4) + 2·(−3) + 4·(−4) = −14

Lengte van b

|b| = √((−4)² + (−3)² + (−4)²) = 6,403

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = −14/6,403 = −2,186

Antwoord

comp_b a = −2,186

Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: M_y = 30 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Plaatsvector van O naar A

r = A − O = (1, 4, 0) − (0, 0, 0) = (1, 4, 0) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·(−30) − 0·(−20) = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−20) − 1·(−30) = 30 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·(−20) − 4·(−20) = 60 N·m

Gevraagde component

M_y = 30 N·m

Antwoord

M_y = 30 N·m

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = −12,14 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 55·2,5 + 65·5

R_B = 462,5/3,5 = 132,1 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 55 + 65 − 132,1 = −12,14 kN

Antwoord

R_A = −12,14 kN

R_A is negatief: het scharnier in A moet de balk naar beneden houden.

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 400 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·20·6 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Moment om de muur

M_A = W·x̄ + P·a = 60·4 + 80·2 = 400 kN·m

Antwoord

M_A = 400 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf BF

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt B

AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 56,57 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 28,28 kN (T), HC: 21,21 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: BF

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf BF

Knooppunt B

AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 73,75 kN (T), BC: 73,75 kN (T), CD: 66,25 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 97,5 kN (C), GH: 97,5 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 33,59 kN (T), HC: 44,19 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: BF

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 120,2 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 100·100/150 = 66,67 N

Penreactie

O_x = 66,67 N, O_y = 100 N

F_O = √(66,67² + 100²) = 120,2 N

Antwoord

F_O = 120,2 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 35 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Kabelspanning

T = (10 + 1/2)/0,2873 = 36,54 kN

Componenten in A

A_x = T·cos β = 35 kN

A_y = 10 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Grootte

A = √(35² + 0,5²) = 35 kN

Antwoord

A = 35 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 30 kN

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 60 − 12·2,5 = 30 kN

Antwoord

V_x = 30 kN

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 1,5 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2·1

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 10 = 30 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 30/20 = 1,5 m

Antwoord

x₀ = 1,5 m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 8,168 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

lijf: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·152,5 + 1120·70)/5620 = 136,1 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·25³/12 + 4500·(152,5 − 136,1)² = 1,451 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·140³/12 + 1120·(70 − 136,1)² = 6,717 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,451 × 10⁶ + 6,717 × 10⁶ = 8,168 × 10⁶ mm⁴ = 8,168 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 8,168 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 341,8 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 2000 mm², y = 423 mm

lijf: A = 4800 mm², y = 218 mm

onderflens: A = 5400 mm², y = 9 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2000·423 + 4800·218 + 5400·9)/12200 = 159,1 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 200·10³/12 + 2000·263,9² = 1,393 × 10⁸ mm⁴

lijf: 12·400³/12 + 4800·58,9² = 8,065 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 300·18³/12 + 5400·150,1² = 1,218 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,393 × 10⁸ + 8,065 × 10⁷ + 1,218 × 10⁸

I_x = 3,418 × 10⁸ mm⁴ = 341,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 341,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics