Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de scalaire projectie compb a van a = (6, −4, 7) op b = (5, 0, −6), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.
a = (6, −4, 7)b = (5, 0, −6)
compb a =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal de oppervlakte A van het parallellogram opgespannen door a = (−6, −6, −3) en b = (4, −3, 5).
a = (−6, −6, −3)b = (4, −3, 5)
A =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w van de muur tot 6 m en een puntlast P op 3 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment MA bij de muur.
L = 8 mP = 25 kN op 3 mw = 2 kN/m van 0 tot 6 m
MA = kN·m
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 0,5 m van A, onder een hoek van 45° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 5 m van A. Vind de grootte van de totale reactiekracht RA in het scharnier A.
L = 6 mP = 55 kN op 0,5 m, θ = 45°Q = 50 kN op 5 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 55 kN
FAC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 10 kNhorizontale belasting = 15 kN ←
FBC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Een horizontale balk AB is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt gesteund door de stut CD, die in C, 1 m onder A, scharnierend aan de muur zit. In B hangt een last van 15 kN. Verwaarloos de gewichten. Bepaal de grootte van de pennenkracht A op de balk in A.
P = 15 kNAD = 1,2 mAB = 2 mAC = 1 m
A = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 1,2 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 2,5 kN/m en een puntlast van 6 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht FCD in de stut.
w = 2,5 kN/mP = 6 kNAD = 2 mAB = 3,6 mAC = 1,2 m
FCD = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
15 kN @ 1 m60 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 8 mP = 60 kN op 1 mw = 2 kN/m van 0 tot 8 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een plaat van 200 mm × 240 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 60 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 72 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 200 mmh = 240 mmuitsparing: 60 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Oplossingen
1.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: compb a = −1,536
Inwendig product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.
Inwendig product
a·b = 6·5 + (−4)·0 + 7·(−6) = −12
Lengte van b
|b| = √(5² + 0² + (−6)²) = 7,81
Scalaire projectie
compb a = a·b/|b| = −12/7,81 = −1,536
Antwoord
compb a = −1,536
Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: A = 60,07
Uitwendig product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is MO = r × F, met r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = (−6)·5 − (−3)·(−3) = −39
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·4 − (−6)·5 = 18
(a × b)z = axby − aybx = (−6)·(−3) − (−6)·4 = 42
Oppervlak
A = |a × b| = √((−39)² + 18² + 42²) = 60,07
Antwoord
A = 60,07
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: MA = 111 kN·m
Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie RA en een inklemmingsmoment MA. ΣFy = 0 geeft RA, en momenten om de muur geven MA = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.
Resultante van de verdeelde belasting
W = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m
Moment om de muur
MA = P·a + W·x̄ = 25·3 + 12·3 = 111 kN·m
Antwoord
MA = 111 kN·m
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 58,71 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Componenten van P
Pv = 55·sin 45° = 38,89 kN
Ph = 55·cos 45° = 38,89 kN
Reacties
ΣMA = 0: RB·6 = 38,89·0,5 + 50·5 → RB = 44,91 kN
Ay = 38,89 + 50 − 44,91 = 43,98 kN
Ax = Ph = 38,89 kN
Resultante in A
RA = √(38,89² + 43,98²) = 58,71 kN
Antwoord
RA = 58,71 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAC = 22,92 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·1 → Cy = 9,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 9,167 = 45,83 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 − 15·3 → Cy = −7 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −7 = 17 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Stutkracht
FCD = 15·2/(0,6402·1,2) = 39,05 kN
Componenten in A
Ax = FCD·cos α = 30 kN (naar de muur toe)
Ay = 15 − FCD·sin α = −10 kN
Grootte
A = √(30² + −10²) = 31,62 kN
Antwoord
A = 31,62 kN
Een negatieve Ay betekent dat de muur de balk in A omlaag trekt.
8.Raamwerken en machines
Antwoord: FCD = 36,73 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting
w·L = 2,5·3,6 = 9 kN op 1,8 m
Momenten om A voor de balk
FCD·0,5145·2 = 9·1,8 + 6·3,6 = 37,8 kN·m
FCD = 36,73 kN
Antwoord
FCD = 36,73 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: C (x = 2 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 52,5 kN, R2 = 22,5 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = 52,5, MC = 90 kN·m, MD = 67,5, ME = 45, MF = 22,5, MG = 0
Antwoord
Markering C: MC = 90 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 59,5 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·1 + 2·8·4
RB = 124/8 = 15,5 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 15,5 = 60,5 kN
Waar is V = 0?
V(1⁻) = RA − w·1 = 58,5 kN
V(1⁺) = 58,5 − 60 = −1,5 kN
De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 160 + 25/2 = 172,5 mm
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (48000·120 − 3000·72)/(48000 − 3000) = 123,2 mm